Aix–Marseille Universit ´e -

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Math ´ematiques – L3

Calcul diff ´erentiel et optimisation D EVOIR M AISON

Devoir `a rendre au plus tard le 24 octobre 2017

L A CLART E ET LA QUALIT ´ E DE LA R ´ EDACTION SERONT PRISES EN COMPTE DANS ´

L ’ ´ EVALUATION .

Exercice 1 On consid `ere les fonctions f : R

−→ R

et g : R

−→ R d ´efinies par

f (x, y) = (sin(xy), y, x exp(xy)), g(u, v, w) = uv

w.

1) Justifiez soigneusement que f, g et g ◦ f sont d ´erivables sur leur en- semble de d ´epart.

2) Calculez explicitement g ◦ f.

3) En utilisant l’expression trouv ´ee en 2), calculez les d ´eriv ´ees partielles de g ◦ f.

4) D ´eterminez les matrices jacobiennes J

(x, y) et J

(u, v, w) de f et de g.

5) Retrouvez le r ´esultat du 3) en utilisant un produit appropri ´e de matrices jacobiennes.

Exercice 2 Soit f : R

→ R d ´efinie par

f(x, y) =



 

 

|xy|

x

+ y

, (x, y) 6= (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0).

1) Montrez que f est diff ´erentiable en tout point de R

\{(0, 0)}.

2) Montrez que les d ´eriv ´ees directionnelles f

(0, 0) existent pour tout v ∈ R

.

3) f est-elle continue en (0, 0) ? 4) f est-elle diff ´erentiable en (0, 0) ?

Aix-Marseille Universit ´e 1 Math ´ematiques L3 – Calcul diff ´erentiel

Exercice 3 Soit r > 0, on note B ¯ = {x ∈ R

: kxk ≤ r}, B = {x ∈ R

: kxk < r}

et S = {x ∈ R

: kxk = r} les boules et la sph `ere de rayon r de R

. k.k d ´esigne la norme euclidienne de R

et la norme induite sur L( R

, R )

f : ¯ B → R continue sur B ¯ et diff ´erentiable sur B. On suppose qu’il existe > 0 tel qu’on ait

∀x ∈ S, |f(x)| ≤ . (0.1)

On veut en d ´eduire qu’il existe x

∈ B tel qu’on ait kD

f k ≤

r . (0.2)

1. Si = 0 et d = 1, quel r ´esultat bien connu retrouve t’on ? Peut-on le d ´eduire du cas > 0 ? Sinon, v ´erifiez que la d ´emonstration classique s’ ´etend `a un d > 1.

2. Montrez que le r ´esultat est optimal, au sens o `u on ne peut pas donner de meilleure majoration de kD

fk que /r. (On pourra chercher un exemple en dimension 1.)

On introduit la fonction g : ¯ B → R d ´efinie par g(x) = kxk

r

− f (x)

(0.3)

3. Montrez que g est diff ´erentiable sur B.

4. Montrez que g est born ´ee et atteint ses bornes. On pose m = min

g(x).

5. V ´erifiez que m ≤ 0.

6. Dans cette question, on suppose que m = 0. En d ´eduire que f(0) = 0 et une majoration sur |f (x)| d’o `u on d ´eduira que x

= 0 v ´erifie (0.2).

7. Dans cette question, on suppose que m < 0. Montrez que tout point x

tel que g(x

) = m est dans B et v ´erifie (0.2).

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