( A n a l y s e )
|6e a n n i e , 1 9 7 5 / 7 6 .
27 A v r i l 1 9 7 6
P R O P R I E T E S A R I T H M E T I Q U E S ~ D E F O N C T I O N S D E P L U S I E U R S V A R I A B L E S (II) p a r M i c h e l W A L D S C H M I D T
D a n s s o n ~ t u d e s u r les f o n c t i o n s e n t i ~ r e s d ' u n e variable d o n t l e s d ~ r i v ~ e s e n c e r t a i n s p o i n t s s o n t a l g ~ b r i q u e s , E . G . S T R A U S d ~ m o n t r a i t u n r ~ s u l t a t g ~ n ~ r a l ( [8] , t h e o r e m 4) d o n t v o i c i u n e c o n s e q u e n c e : si f e s t u n e f o n c t i o n e n t i ~ r e t r a n s c e n d a n t e d a n s ¢, d ' o r d r e ~ e ' et si K es__t u n c o r p s d e n o m b r e s ~ l ' e n s e m b l e d e s w e K , t e l s q u e f ( k ) ( w ) e Z p o u r t o u t k ~ , e s t f i n i ~ et a a u p l u s ~ [K : Q ] ~ I g m e n t s . II p o s a i t ~ la f i n d e s o n p a p i e r ( [ 8 ] , p. 198) le p r o b l ~ m e de la g ~ n ~ r a l i s a t i o n d e ce r ~ s u l - t a t a u x f o n c t i o n s m ~ r o m o r p h e s , o u a u x f o n c t i o n s d e p l u s i e u r s v a r i a b l e s c o m p l e x e s .
L a g ~ n ~ r a l i s a t i o n a u x f o n c t i o n s m g r o m o r p h e s d ' u n e v a r i a b l e ( a v e c u n e b o r n e m o i n s p r e c i s e p o u r le h o m b r e de p o i n t s ) e s t u n e c o n s g q u e n c e d ' u n r ~ s u l t a t de Th. S C H N E I D E R , o b t e n u i n d ~ p e n d a m m e n t g la m ~ m e g p o q u e et p a r u n e m ~ t h o d e c o m p l ~ t e m e n t d i f f g r e n t e ( [6] , S a t z I I I , et [ 7 ] , S a t z 12). O n p e u t r e m a r q u e r q u e la m ~ t h o d e d e S t r a u s n e p e u t s ' a p p l i q u e r q u ' ~ d e s f o n c t i o n s t r a n s c e n d a n t e s e n d e s p o i n t s a l g ~ b r i q u e s , t a n d i s q u e e e l l e d e S c h n e i d e r c o n c e r n e p l u s g g n ~ r a l e m e n t l e s v a l e u r s de d e u x f o n c - t i o n s a l g ~ b r i q u e m e n t i n d ~ p e n d a n t e s .
U n p r e m i e r e s s a i de g ~ n ~ r a l i s a t i o n d e s r ~ s u l t a t s d e S t r a u s a u x f o n c t i o n s d e p l u s i e u r s v a r i a b l e s f u t e n t r e p r i s p a r A . B A K E R e n 1 9 6 6 [I] , p a r u n e t r o i s i ~ m e m ~ t h o d e , r e p o s a n t s u r d e s f o r m u l e s d ' i n t e r p o l a t i o n ( v o i r g e e s u j e t [IO] § I) ; a i n s i , q u a n d f e s t u n e f o n c t i o n e n t i ~ r e t r a n s c e n - d a n t e d a n s C n , d ' o r d r e $ ~ , l ' e n s e m b l e d e s w G C n o 3 r o u t e s l e s d ~ r i v ~ e s
p a r t i e l l e s d e f p r e n n e n t d e s v a l e u r s d a n s ~ n e p e u t p a s c o n t e n i r t o u s l e s p o i n t s ~ c o o r d o n n ~ e s d a n s • d ' u n h y p e r c u b e d e c S t ~ ~ . L e r ~ s u l t a t de B A K E R e s t e n f a i t u n p e u p l u s p r 6 c i s , m a i s la m g t h o d e n e p a r a ~ t p a s p o u - v o i r s ' a d a p t e r g d e s s i t u a t i o n s p l u s g ~ n ~ r a l e s ( f o n c t i o n s m ~ r o m o r p h e s , p o i n t s ~ c o o r d o n n ~ e s a l g ~ b r i q u e s ) .
D a n s l ' i n t r o d u c t i o n d e l ' e x p o s ~ p r 6 c 6 d e n t ~ , n o u s a v i o n s m e n - t i o n n ~ u n e c o n j e c t u r e d e N A G A T A ~ ] , q u i a ~ t ~ r ~ s o l u e p a r B O M B I E R I [3], et q u i s u g g ~ r e q u e la g ~ n ~ r a l i s a t i o n n a t u r e l l e d e la f i n i t u d e d ' u n
s o u s - e n s e m b l e d e ¢ e s t la p r o p r i g t ~ , p o u r u n s o u s ~ e n s e m b l e d e c n , d ' e t r e c o n t e n u d a n s u n e h y p e r s u r f a c e a l g ~ b r i q u e ; au l i e u d e m a j o r e r le c a r d i n a l d e l ' e n s e m b l e , o n m a j o r e a l o r s le d e g r ~ d e l ' h y p e r s u r f a c e .
C ' e s t d a n s ce c o n t e x t e q u e n o u s a l l o n s g ~ n ~ r a l i s e r l e s r ~ s u l t a t s d e S t r a u s a u x f o n c t i o n s m g r o m o r p h e s d e n v a r i a b l e s c o m p l e x e s . L a d i f f e r e n c e a v e c la s i t u a t i o n d e B O M B I E R I [~ p r o v i e n t d u f a i r q u e n o u s n e s u p p o s e - r o n s p a s q u e l e s f o n c t i o n s c o n s i d ~ r ~ e s s a t i s f o n t d e s g q u a t i o n s d i f f g r e n - t i e l l e s . D ' a u t r e p a r t n o u s e s s a y e r o n s d ' o b t e n i r d e s m a j o r a t i o n s p r ~ c i s e s p o u r l e s d e g r ~ s d e s h y p e r s u r f a c e s ; en f a i t d a n s le c a s n = 1 n o u s o b ~ t i e n d r o n s m i e u x q u e S t r a u s , p u i s q u e n o t r e m a j o r a t i o n s e r a :
( ~ - ;) [ K : Q ] + I . M a l h e u r e u s e m e n t la p r e s e n c e d e p l u s i e u r s v a r i a b l e s i n t r o d u i t , g l ' h e u r e a c t u e l l e , d e s t e r m e s p a r a s i t e s , et g u n e b o r n e C p o u r n = 1 c o r r e s p o n d la b o r n e nC + 2 n p o u r n ~ 2 II s e m b l e r a i s o n n a ~ b l e d ' e s p ~ r e r o b t e n i r u n j o u r l a m ~ m e b o r n e C p o u r r o u t e s l e s v a l e u r s de n . E n a t t e n d a n t , il e s t c o m m o d e d e n o t e r :
I ~ si n = 1
=
n si n ~ 2
a i n s i n C + 2 n ~ v a u t C p o u r n = 1 , et n C + 2 n p o u r n ~ 2 .
N o u s c o n s i d g r e r o n s d ' a b o r d (§ I) [ e s p o i n t s a l g g b r i q u e s d e ~ n o 3 u n e f o n c t i o n t r a n s c e n d a n t e d ' o r d r e f i n i a t o u t e s s e s d ~ r i v ~ e s d a n s ~ ; n o u s g ~ n g r a l i s e r o n s e n s u i t e (§ 2) g d e s f o n c t i o n s m ~ r o m o r p h e s a l g ~ b r i -
q u e m e n t i n d ~ p e n d a n t e s ; le t h ~ o r ~ m e 2 . 2 . c o n t i e n t t o u s l e s a u t r e s ~ n o n - c ~ s . A p r ~ s a v o i r ~ t u d i ~ (§ 3) la c r o i s s a n c e d e s c o e f f i c i e n t s d e T a y l o r d e f o n c t i o n s e n t i ~ r e s o u m ~ r o m o r p h e s d a n s C n , n o u s d ~ m o n t r e r o n s le t h ~ o - r ~ m e 2 . 2 . L a p a r t i e a r i t h m ~ t i q u e (§ 4) d e c e t t e d ~ m o n s t r a t i o n s e r a s u i - v i e d ' u n e d i s c u s s i o n (§ 5) s u r l e s z ~ r o s d e f o n c t i o n s e n t i ~ r e s , a v e c la f i n d e la d ~ m o n s t r a t i o n d u t h g o r ~ m e 2 . 2 . , l ' ~ n o n c ~ d ' u n e c o n j e c t u r e , et q u e l q u e s j u s t i f i c a t i o n s d e c e t t e c o n j e c t u r e . C e t t e ~ t u d e n o u s c o n d u i r a
u n l i e n s u r p r e n a n t e n t r e l e s z ~ r o s d ' u n e f o n c t i o n e n t i ~ r e et l e s d e g r ~ s d e e e r t a i n e s h y p e r s u r f a c e s a l g ~ b r i q u e s .
§ ]. - F o n c t i o n s t r a n s c e n d a n t e s e n d e s p o i n t s a l g ~ b r i q u e s .
N o u s d i r o n s q u ' u n e f o n c t i o n f, e n t i ~ r e d a n s ¢ n , e s t d ' o r d r e ~ si L o g LogllfllR
= Rlim---> +=osup L o g R '
o O llflIR = s u p If(z)I e s t le m a x i m u m d e If(z) I s u m la b o u l e e u c l i d i e n n e z ~ B ~ ( 0 ) R } . U n e d ~ f i n i t i o n ~ q u i v a l e n t e d e @ e s t
B R ( O ) = {z ~ n IiZ[ I (cf. ( 3 . 3 . ) c i - d e s s o u s ) :
Ikl L o g Ikl e = l i m s u p
L o g k!
e n f a i t n o u s n ' u t i l i s e r o n s q u e l ' i n ~ g a l i t ~ :
I '
t o u t g > 0 , L o g ID k f ( o ) ~ ( 1 e + ~ ) t k l L o g l k l + O ( I k l ) , q u i e s t p o u r
u n e c o n s g q u e n c e f a c i l e d e s i n f i g a t i t ~ s d e C a u e h y ( e f . l e m m e 3 . 1 . e i - d e s s o u s ) . C e t t e i n ~ g a l i t f i m o n t r e q u e , s i D k f ( O ) ~ g p o u r t o u t k & N n e t s i e < l , a l o r s D k f ( O ) = 0 p o u r Ikl s u f f i s a m m e n t g r a n d , a u t r e m e n t d i t f e s t u n p o l y n ~ m e . P a r t r a n s l a t i o n o n o b t i e n t l e r g s u l t a t s u i v a n t
L E M M E 1.1. - Si f e s t u n e f o n c t i o n e n t i ~ r e t r a n s c e n d a n t e d a n s C n et s ' i l e x i s t e w e c n t e l q u e
D k f ( w ) m Ff p o u r t o u t k ~ q n, a l o r s f e s t a u m o i n s d ' o r d r e ] .
O n p o u r r a i t a u s s i , q u a n d f e s t d ' o r d r e I, m i n o r e r s o n t y p e [ 8 ] , m a i s n o u s n e le f e r o n s p a s °
Q u a n d f e s t u n e f o n c t i o n e n t i ~ r e t r a n s c e n d a n t e d a n s c n d ' o r d r e f i n i , n o u s a l l o n s ~ t u d i e r l ' e n s e m b l e d e s p o i n t s w ~ c n , ~ c o o r d o n n ~ e s a l g 6 b r i q u e s ( a u t r e m e n t d i t w e ~ n ) , o 3 f a t o u t e s s e s d ~ r i v ~ e s d a n s 7.
P a r e x e m p l e s o i t a e ~ n , a # O; la f o n c t i o n e n t i ~ r e t r a n s c e n d a n t e z ~--~ e x p ( a . z ) e s t d ' o r d r e I , e t , d ' a p r ~ s le t h ~ o r g m e d e H e r m i t e - L i n d e m a n n s u r la t r a n s c e n d a n c e d e e~ [4, 7, 1 0 ] , l ' e n s e m b l e c o n s i d 6 r 6
= z ;
e s t f o r m ~ d e s w ~ ~ n q u i a n n u l e n t le p o l y n o m e a . z a l Z l + "'" + a n n a u t r e m e n t d i t c e t e n s e m b l e e s t l ' i n t e r s e c t i o n a v e c ~ n d ' u n h y p e r p l a n
• ^
d e ~ n P l u s g 6 n 6 r a l e m e n t , si P e ~ [ z ] e s t u n p o l y n o m e e n n v a r i a b l e s c o e f f i c i e n t s a l g g b r i q u e s , l ' e n s e m b l e d e s w e ~ n c o r r e s p o n d a n t ~ la f o n c - t i o n z ~-~ e x p ( P ( z ) ) e s t c o n t e n u d a n s l ' h y p e r s u r f a c e a l g ~ b r i q u e P ( w ) = O.
X
T H ~ O R E M E 1.2. - S o i t f u n e f o n c t i o a e n t i ~ r e t r a n s c e n d a n t e d a n s c n , d ' o r d r e f i n i ~ . S o i t ~ u n e n t i e r p o s i t i f . L ' e n s e m b l e d e s w G ~ n , t e l s q u e
D k f ( w ) ~ • p o u r t o u t k m ~ n
e s t c o n t e n u d a n s u n e h y p e r s u r f a c e a l g ~ b r i q u e d e d e g r ~ i n f ~ r i e u r o u ~ g a l n ~ ( @ - 1) + n + 2 n .
I 1 e s t p a r t i e u l i ~ r e m e n t i n t 6 r e s s a n t d e r e m a r q u e r q u e l a m a j o r a t i o n d u d e g r ~ d e l ' h y p e r s u r f a c e n e d 6 p e n d p a s d e ~ q u a n d ~ = 1 , G r ~ c e a u l e m m e 5 . 2 . c i - d e s s o u s , c e l a p e r m e t d e d 6 d u i r e d u t h ~ o r g m e 1 . 2 . l e c o - r o l l a i r e s u i v a n t
C O R O L L A I R E 1.3, - S o i t f u n e f o n c t i o n e n t i ~ r e t r a n s c e n d a n t e d ~ n s ¢ .~ n d ' o r d r e I. L ' e n s e m b l ~ d e s w ~ n t e l s q u e D k f ( w ) ~ Z p o u r t o u t k ~ n e s t c o n t e n u d a n s u n e h y p e r s u r f a c e a l g 6 b r i q u e de d e g r ~ au p l u s n + 2 n .
D a n s le c a s n = I, le c o r o l l a i r e 1.3. p e u t ~ t r e 6 t e n d u a u x f o n c - t i o n s m ~ r o m o r p h e s d a n s ¢ ( [ 2 ] , c r i t ~ r e I ). P o u r n q u e l c o n q u e , o n p e u t g 6 n ~ r a l i s e r le t h ~ o r ~ m e 1.2. a u x f o n c t i o n s m g r o m o r p h e s d a n s c n ,
m a i s o n o b t i e n t u n e m o i n s b o n n e m a j o r a t i o n d u d e g r ~ d e l ' h y p e r s u r f a c e .
N o u s d i r o n s q u ' u n e f o n c t i o n f, m ~ r o m o r p h e d a n s c n , e s t d' o r d r e i n - f ~ r i e u r o u ~ g a l g @ , si e l l e p e u t s ' ~ c r i r e c o m m e q u o t i e n t d e d e u x f o n c - t i o n s e n t i g r e s d ' o r d r e i n f g r i e u r o u g g a l ~ ~ . O n v ~ r i f i e (cf. l e m m e 3 . 6 . c i - d e s s o u s ) q u e c e t t e d ~ f i n i t i o n e s t c o h ~ r e n t e .
T H E O R E M E 1.4. S o i t f u n e f o n c t i o n m ~ r o m o r p h e t r a n s c e n d a n t e d a n s c n , d ' o r d r e i n f ~ r i e u r o u g g a l ~ ~ . S o i t ~ u n e n t i e r p o s i t i f . L ' e n s e m b l e d e s w ~ n , o_~ f e s t a n a l y t i q u e , p o u r l e s q u e l s [~(w) : ~ ] ~ ~ e t
D k f ( w ) ~ Z p o u r t o u t k ~ n ,
e s t c o n t e n u d a n s u n e h y p e r s u r f a c e a l g ~ b r i q u e d e d e g r ~ i n f ~ r i e u r ou g g a l n f e + 2 n , .
O n p e u t e n f a i t d ~ d u i r e l e s t h ~ o r ~ m e s 1.2. et 1.4. d ' u n ~ n o n c ~ t r ~ s g ~ n ~ r a l darts l e q u e l o n s u p p o s e s e u l e m e n t q u e l e s h o m b r e s D k f ( w ) s o n t a l g ~ b r i q u e s ; p o u r d e s r a i s o n s t e c h n i q u e s d e d ~ m o n s t r a t i o n , o n e s t c o n - t r a i n t d ' i m p o s e r d e s c o n d i t i o n s s u r l e s d ~ n o m i n a t e u r s et l e s c o n j u g u ~ s d e c e s h o m b r e s a l g ~ b r i q u e s ( c o n c e r n a n t le c a s n = I, v o i r [6] S a t z I I I ,
[7] , S a t z 12, [I] T h e o r e m 4, et [2] c r i t ~ r e I). C e s c o n d i t i o n s s o n t a u t o m a t i q u e m e n t v ~ r i f i g e s q u a n d l e s f o n c t i o n s c o n s i d ~ r ~ e s s a t i s f o n t d e s
~ q u a t i o n s d i f f ~ r e n t i e l l e s d ' u n c e r t a i n t y p e ( [ 7 ] , S a t z 13 ; ~ ]
c h a p . IV ; ~ ] ) ; m a i s n g a n m o i n s c e s r e s t r i c t i o n s s o n t t o u t - g - f a i t i n d ~ - s i r a b l e s .
C O N J E C T U R E 1.5. - S o i t f u n e f o n c t i o n m ~ r o m o r p h e t r a n s c e n d a n t e d a n s
~ n , d ' o r d r e i n f ~ r i e u r o u ~ g a l a e " L ' e n s e m b l e d e s w e ~ n , --°3 f e s t a n a l y - t i q u e , et p o u r l e s q u e l s
D k f ( w ) e ~ p o u r t o u t k e ~ n
e s t c o n t e n u d a n s u n e h y p e r s u r f a c e a l g ~ b r i q u e d e d e g r ~ i n f ~ r i e u r o u ~ g a l
§ 2. - F o n c t i o n s a l g ~ b r i q u e m e n t i n d ~ p e n d a n t e s .
A u l i e u d e c o n s i d g r e r u n e f o n c t i o n t r a n s c e n d a n t e f, c ' e s t - ~ - d i r e u n e f o n c t i o n f ( z ) = f ( z l , . . . , Z n ) t e l l e q u e Zl , . . . , Z n , f ( z l , . . . ,z n) s o i e n t a l g ~ b r i q u e m e n t i n d ~ p e n d a n t e s , o n p e u t c o n s i d g r e r p l u s g ~ n g r a l e - m e n t n + l f o n c t i o n s a l g ~ b r i q u e m e n t i n d g p e n d a n t e s .
T H E O R E M E 2. I . - S o i e n t fl '" " " ' f n + l d e s f o n c t i o n s m g r o m o r p h e s a l g g - b r i q u e m e n t i n d ~ p e n d a n t e s , d ' o r d r e i n f g r i e u r o u g g a l a ~I ' ' ' " ' ~ n + l r e s p e c t i v e m e n t . L ' e n s e m b l e d e s w ~ ¢ , __°~ fl '" " " ' f n + l n s o n t t o u t e s a n a - l y t i q u e s , e t o O
D k f. (w) m Z p o u r t o u t k e[qn , j = I , . . . , n + I , J
e s t c o n t e n u d a n s u n e h y p e r s u r f a c e a l g ~ b r i q u e d e d e g r g a u p l u s n ( ~ l + "" " + ~ n + l ) + 2 n
O n p e u t a m g l i o r e r l ~ g ~ r e m e n t c e t t e b o r n e , e n c o n s i d ~ r a n t d f o n c t i o n s n + .. + + 2 n ( c f [ 9 ] e x e r c i c e 3 3 . g ~
(d > n ) , s o u s l a f o r m e d---C~ ( ~ I " e d ) " "
P o u r n ' e f f e c t u e r q u ' u n e d ~ m o n s t r a t i o n , n o u s a l l o n s f o r m u l e r u n
~ n o n c ~ g ~ n ~ r a l q u i c o n t i e n d r a t o u s l e s g n o n c ~ s p r e c e d e n t s .
T H E O R E M E 2 . 2 . - S o i t ~ u n e n t i e r , I~ ~ n + l , e t s o i e n t f l , . . . , f ~ d e s f o n c t i o n s m ~ r o m o r p h e s d a n s c n , d ' o r d r e i n f ~ r i e u r o u ~ g a l a el , ' ' ' , ~ r e s p e c t i v e m e n t ; o n s u p p o s e q u e fl ' ' ' ' ' f ~ s o n t a l g g b r i q u e m e n t i n d ~ p e n - d a n t e s s u r l e c o r p s ~ ( z l , . . . , Z n _ ~ + i ) . S o i t ~ u n e n t i e r p o s i t i f . L ' e n - s e m b l e d e s w = (Wl , . . . , W n ) ~ c n , t e l s q u e
I. l e s n o m b r e s W l , . . , , W n ~ ~ + i s o n t a l g ~ b r i q u e s , e t
[ Q ( w z ... w ~ _ ~ + I) : Q] ~ ~ ;
2. p o u r I $ j ~ ~ , f. e s t a n a l y t i q u e e n w ; J
3. p o u r ] ~ j $ ~ e__~t k ~ n , D k f. (w) ~ ~ , J
e s t c o n t e n u d a n s u n e h y p e r s u r f a c e a l g ~ b r i q u e d e d e g r ~ ~ i n f ~ r i e u r o u
~ g a l
n f ( e l + ... + ~ ) + 2 n ~ ,
d e p l u s , si f l , . . . ,f s o n t e n t i g r e s , a l o r s
A ~n~'( ~I + ' ' ' + ~ ) - n( f - l) + 2 n
R e m a r q u e 2 . 3 . N o u s v e r r o n s a u § 4 q u e l ' h y p o t h g s e D k f . ( w ) e ~ J p e u t ~ t r e r e m p l a c ~ e p a r D k f. (w) ~ ~ [ i ] p a r e x e m p l e , s a n s q u e l e s
J m a j o r a t i o n s d e ~ s o i e n t m o d i f i ~ e s .
Q u a n d o n r e m p l a c e l ' h y p o t h g s e D k f. (w) ~ ~ p a r D k f . ( w ) ~ ( m o y e n n a n t
3 J
d e s c o n d i t i o n s t e c h n i q u e s c o m m e n o u s l ' a v o n s d i t ~ la f i n d u § I), o n r e t r o u v e l e s p r o p r i ~ t ~ s a r i t h m ~ t i q u e s d e f o n c t i o n s p ~ r i o d i q u e s q u e n o u s a v i o n s i n d i q u g e s d a n s [I0] § 3.
B i e n q u e l e s ~ n o n c ~ s q u e n o u s a v o n s o b t e n u s s o i e n t p a r t i c u l i ~ r e m e n t s i m p l e s ( d u f a i t q u e l ' o n n e c o n s i d ~ r e q u e d e s v a l e u r s e n t i ~ r e s d e s d ~ - r i v ~ e s ) , i l s c o n t i e n n e n t n ~ a n m o i n s c e r t a i n s r ~ s u l t a t s de t r a n s c e n d a n c e . P a r e x e m p l e la t r a n s c e n d a n c e d e n o m b r e s t e l s q u e I"[, L o g 2, o u p l u s g ~ n ~ r a l e m e n t l o g P p o u r P ~ P ~ 0 ( a v e c T T = -i l o g (-I)) se d ~ d u i t
q ' q
z = O, w l o g P) t a n d i s q u e l ' i r r a -
d e 1.3. (n = I, f ( z ) = q e ' W o 1 ~ '
t i o n n a l i t ~ d e e IT e s t u n e c o n s e q u e n c e d u t h g o r ~ m e 2 . 1 . , g r $ c e ~ la r e m a r -
= _ iz
q u e 2 . 3 . (si e IT u , c o n s i d ~ r e r l e s f o n c t i o n s v e z et u e a u x v
p o i n t s O, ~ et i ~ ) .
D ' a u t r e p a r t n o u s a v o n s s u p p o s g q u e c h a q u e f o n c t i o n m ~ r o m o r p h e f.j s ' ~ c r i v a i t s o u s l a f o r m e g j / h j , a v e c g j , h.3 e n t i ~ r e s d ' o r d r e a u p l u s
~j ; n o u s n ' a v o n s p a s s u p p o s ~ q u e , e n c h a q u e p o i n t c o n s i d ~ r ~ w, il e x i s t a i t u n e t e l l e ~ c r i t u r e a v e c h . ( w ) # 0 (cette condition peut toujours ~tre
J
r~alis~e; c'est banal dans le cas n=l, m a i s p a s d a n s le c a s n ~ 2 ) ; c e t t e h y p o - t h ~ s e i n t e r v e n a i t e x p l i c i t e m e n t c h e z L A N G ( [ 4 ] C h a p i t r e IV, d a n s la d ~ f i n i t i o n d ' u n e f o n c t i o n m ~ r o m o r p h e d ' o r d r e i n f g r i e u r o u ~ g a l ~ d ~ f i n i e e n u n p o i n t ) , et i m p l i c i t e m e n t c h e z B O M B I E R I ( [ 3 ] , p. 2 8 1 , d a n s la d ~ m o n s t r a t i o n d u l e m m e 4, o 3 il e s t n ~ c e s s a i r e d e s u p p o s e r g ( ~ ' ) # O ) . L ' a s t u c e q u i n o u s p e r m e t i c i d e n o u s d ~ b a r r a s s e r s i m p l e m e n t d e c e t t e h y p o t h ~ s e s u p e r f l u e e s t d u e ~ D a v i d M A S S E R ( M . P . C . P . S . , 7 9 ( 1 9 7 6 ) , p . 6 3 ) .
§ 3. Q u e l q u e s l e m m e s sur les f o n c t i o n s e n t i ~ r e s d a n s c n
N o u s a l l o n s ~ t u d i e r la c r o i s s a n c e d e s c o e f f i c i e n t s de T a y l o r d ' u n e f o n c t i o n e n t i ~ r e d ' o r d r e f i n i . A u § I, n o u s a v o n s d ~ f i n i l ' o r d r e ( e x a c t ) d ' u n e f o n c t i o n e n t i g r e . II est c o m m o d e d ' i n t r o d u i r e l ' o r d r e s t r i c t : u n e f o n c t i o n f, e n t i ~ r e d a n s Cn, s e r a d i t e d ' o r d r e s t r i c t i n f ~ r i e u r ou
~ g a ~ ~ ~ si
L o g ilf[] R ~ R e q u a n d R > ~ .
II est b i e n n o r m a l q u e l ' o r d r e d ' u n e f o n c t i o n e n t i ~ r e s o i t li~ ~ la r a p i d i t ~ a v e c l a q u e l l e d ~ c r o i s s e n t ses c o e f f i c i e n t s de T a y l o r , d i s o n s
l ' o r i g i n e . N o u s n ' u t i l i s e r o n s q u e le f a i t q u ' u n e f o n c t i o n d ' o r d r e f i n i a de " p e t i t s " c o e f f i c i e n t s ( l e m m e 3 . 1 . ) , m a i s il p a r a ~ t i n t ~ r e s s a n t d ' e n i n d i q u e r la r ~ c i p r o q u e ( r e m a r q u e 3 . 2 . ) .
L E M M E 3.1. - S o i t f u n e f o n c t i o n a n a l y t i q u e au v o i s i n a g e d ' u n p o i n t w d__~e Cn. II e x i s t e u n n o m b r e c] > O tel q u e , p o u l t o u t k m ~ n , on ait
I D k f(w) I ( [k, + I)
L o g k! ~ Cl
De p l u s , si f est e n t i ~ r e d ' o r d r e s t r i c t i n f ~ r i e u r ou ~ g a l ~ ~ , il e x i s t e c 2 > 0 tel q u e , p o u r t o u t k e ~ n , on ait
L o g " 1 D k f ( w ) [ + '~I L o g ( I k, + I ) ~ c 2 ( ]k]+ I).
k! e
On r e m a r q u e r a q u e la p r e m i e r e i n ~ g a l i t g e x p r i m e s i m p l e m e n t q u e la s ~ r i e de T a y l o r de f en w c o n v e r g e d a n s u n v o i s i n a g e de w.
D ~ m o n s t r a t i o n d u l e m m e 3 . ] .
b ll n ' y a p a s de r e s t r i c t i o n ~ s u p p o s e r w = O. N o t o n s l D k
a k = ~ f(O) , (k e ~ n) les c o e f f i c i e n t s de T a y l o r de f g l ' o r i g i n e . On c o n s i d ~ r e un p o l y d i s q u e D ( O , r ) au v o i s i n a g e d u q u e l f est a n a l y t i q u e , et on n o t e If] r le m a x i m u m de f sur ce p o l y d i s q u e . L e s i n ~ g a l i t ~ s de C a u c h y :
lakl ~ r ~ Ik] iflr p o u r t o u t k e ~ n
e n t r a ~ n e n t la p r e m i e r e i n ~ g a l i t ~ . S u p p o s o n s m a i n t e n a n t q u e f est e n t i ~ r e
d ' o r d r e strict,4 ~ ; p o u r t o u t r ~ 1, o n a L o g [a k I g - Ikl L o g r + c 2 r e , o ~ c 2 n e d ~ p e n d q u e d e f ( o n a s u p p o s g w = O) C h o i s i s s o n s r = [kl I/~ ; o n o b t i e n t
I ] k ] L o g Ikl + c 2 Ikl
la l -
p o u r ~k~ s u f f i s a m m e n t g r a n d , ce q u i p e r m e t d e c o n c l u r e
R e m a r q u e 3 . 2 . I n v e r s e m e n t , s i (ak) k ~ n e s t u n e s u i t e ( i n d e x ~ e p a r ~ n ) d e n o m b r e s c o m p l e x e s , t e l l e q u e
~ Ikl
p o u r I k l s u f f i s a m m e n t g r a n d , a v e c ~ > 0 , a l o r s lakl~ [kl
l a f o n c t i o n
k f ( z ) = ~ a k z
k~[N n
e s t e n t i g r e d a n s £ n , d ' o r d r e s t r i c t ,4 ~ . 1
~ P o u r le d ~ m o n t r e r o n ~ c r i t ( f o r m e l l e m e n t ) K
l l f [ [ R 4 ( ~ - - ~ [akl) R ° + ~K ~ (K + l) n R K
Xlkl < K o = o K X K
e t , p o u r K s u f f i s a m m e n t g r a n d , o n m a j o r e
(K + I) n --RK (e3 R I / X ) X K '
K % K p a r d o ~
( X K ) ~ K '
lJfllR ~ e x p ( c 4 R I/N) p o u r t o u t R > ] 4
J o i n t e a u l e m m e 3 . 1 . , l a r e m a r q u e 3 . 2 . m o n t r e q u e l ' o n a, p o u r f e n t i ~ r e d a n s c n et a k = ~ I D k f ( o ) :
Log Log~fll R Ikl Log Ikl
l i m s u p
( 3 . 3 . ) l i m s u p L o g R h o g l a k ]
- - ~ + ~ Ikl - - + - ~
P o u r l e s a p p l i c a t i o n s q u e n o u s a v o n s e n r u e , n o u s a l l o n s u t i l i s e r le l e m m e 3 . 1 . p o u r ~ t u d i e r l a c r o i s s a n c e d e s c o e f f i c i e n t s d e T a y l o r d e
41 f ~ L ' i n ~ g a l i t ~ q u e n o u s o b t i e n d r o n s d a n s le f o n c t i o n s d u t y p e fl . . . .
c a s d e f o n c t i o n s a n a l y t i q u e s a u v o i s i n a g e d ' u n p o i n t e s t e s s e n t i e l l e m e n t c e l l e d e ~ ] p r o p . 1 b i s , q u i e s t u n r a f f i n e m e n t d e [7] , c h a p . II, f o r m u l e ( 2 1 ) . D a n s le c a s de f o n c t i o n s e n t i ~ r e s d ' o r d r e f i n i , n o u s o b - t i e n d r o n s d e s e s t i m a t i o n s m e i l l e u r e s , et c ' e s t c e t t e a m e l i o r a t i o n q u i
n o u s p e r m e t d ' a v o i r des m a j o r a t i o n s plus p r ~ c l s e s que c e l l e s de S t r a u s (ce p o i n t est en p a r t i c u l i e r f o n d a m e n t a l p o u r o b t e n i r le c o r o l l a i r e 1.3.).
C o m m e n g o n s par des f o n c t i o n s du type f~
L E M M E 3.4. - Soit f une f o n c t i o n a n a l y t i q u e au v o i s i n a g e d ' u n p o i n t w ~ ¢ n II e x i s t e c I > 0 tel que, p o u r tout A, K e n t i e r s p o s i t i f s , et ~m;q, k e~q n, 0 ~ < ~ , Ikl = K, on ait
Logl~-- , D k f~(w) I .< el (K + A ) + n A L o g ( K + I)
De plus, si f est e n t i g r e dans ¢n, d ' o r d r e s t r i c t g ~ , il e x i s t e c 2 tel que
maXo,<~ALog ! (w) ~ - --~ K L o g ( ~ + 1) + c 2(K + A ) + n ~ L o g ( K + I)
Ikl =
D ~ m o n s t r a t i o n .
~ O n ~ c r i t la f o r m u l e de L e i b n i t z : x
~! gl +. ..+){~=k j=1 Xj. f '
o~ la s o m m e est ~ t e n d u e g l ' e n s e m b l e des ()~l ,...,~%) ~ ~qn~ a v e e )~l+...+ ~ X = k ; le n o m b r e de t e r m e s de c e t t e somme est m a j o r ~ par (K + I) nA . D ' a p r ~ s le l e m m e 3. I .
Log ] ~ j=l ]~j,. I I D}~j f(w) I ~ c I = (IEOI +I> 4 c ] ( K + A ) , ce qui d o n n e la p r e m i e r e i n ~ g a l i t ~ .
S u p p o s o n s m a i n t e n a n t f e n t i ~ r e d ' o r d r e s t r i c t ~ @ ; le lemme 3.1.
d o n n e alors
)~ 1 [D ){j f(w) [ $ l~jl Log(IXjl + ] ) + c 2 ( I M j I + I)
e o g r 7 7 7 J=J j.
4 - ~ K L o g ( + 1) + c2(K +A ).
L a d e r n i ~ r e i n f i g a i i t f i p r o v i e n t d e l a c o n v e x i t f i d e l a c o u r b e
y = x L o g ( x + 1 ) : s i X l , . . . , x}, ( a v e c ) ~ l ) s o n t d e s n o m b r e s r f i e l s } O , a v e c x 1 + . . . + x h = X , o n a
x X
X L o g ( - C + 1) 4 ~ x. L o g ( x , + I)
A 3=I J J
L E M M E 3.5. - S o i e n t fl ''" " 'f~ d e s f o n c t i o n s a n a l y t i q u e s d a n s u n v o i s i n a g e d ' u n p o i n t w e ¢ n. II e x i s t e u n n o m b r e c5 > O a y a n t la p r o p r i ~ t ~ s u i v a n t e . S o i e n t /~l ' " " " ,A~, K d e s e n t i e r s r a t i o n n e l s p o s i t i f s ; p o u r
~j ~j __ ~qn
0 ~ ~< (I ~< j ~ ) et k ~ ,Ikl = K , on a
I k A1 ~ I + ( ~ , /~j)(c 5
L o g k]--! D (fl "''f )(w) $ c 5 K + n L o g ( K + l))
j=l
D e p l u s , si f l , . . . , f ~ s o n t r o u t e s d e s f o n c t i o n s e n t i ~ r e s , d ' o r d r e s t r i c t .< ~1 ,. • . , @ ~ r e s p e c t i v e m e n t , a l o r s p o u r t o u t r ~ e l ~ d a n s l ' i n t e r v a l l e
0 < % <I, on a
Log]kl D k (fl "" ~I . f )(w)I~_(l_.0K min ~I Log(TK +l + c 5 K + ( ~ Aj)(c 5 + n Log(K+l)).
D~monstration.
, O n ~ c r i t e n c o r e u n e l o i s la f o r m u l e de L e i b n i t z :
~! D k ( f I . . . f ~ ) , j
) ~ i + . . . + ) ~ = k J=! ~--~ D
Le h o m b r e de t e r m e s de la s o m m e e s t au p l u s (K + I) , q u e l ' o n m a j o r e p a r e x p ( c 6 K) . La p r e m i e r e i n ~ g a l i t ~ e s t a l o r s i m m g d i a t e g p a r t i r du l e m m e 3.4. P o u r o b t e n i r la d e u x i ~ m e i n ~ g a l i t ~ , on m i n o r e
j=l ej IXJl L o g ( - - + I)
1 1 Z____~K et en r e m a r q u a n t en ne c o n s i d ~ r a n t q u e les j p o u r l e s q u e l s ~ j ~ ~ ,
q u e la s o m m e de c e s l)~j I e s t s u p ~ r i e u r e ~ (l - T ) K ~
A f i n de p o u v o i r i n t r o d u i r e la n o t i o n d ' o r d r e p o u r u n e f o n c t i o n m ~ r o m o r p h e , il f a u t d ' a b o r d d g m o n t r e r le l e m m e s u i v a n t .
L E M M E 3.6. - S o i e n t g et h d e u x f o n c t i o n s e n t i ~ r e s n o n i d e n t i q u e - m e n t n u l l e s d ' o r d r e s t r i c t ~ e " On s u p p o s e q u e g / h e s t e n t i g r e . A l o r s g / h e s t d ' o r d r e s t r i c t ~ @.
A u t r e m e n t d l t si f et h s o n t d e s f o n e t i o n s e n t i ~ r e s n o n n u l l e s , et si fh et h s o n t d ' o r d r e s t r i c t ~ @ , a l o r s f e s t d ' o r d r e s t r i c t ~ @ ,
D ~ m o n s t r a t i o n ( d ' a p r ~ s [5] , l e m m e 7 . 4 . 1 0 et p r o p o s i t i o n s 7 . 4 . 1 1 , 7 . 4 . 1 2 ) .
P o u r x ~ , x ~ O , on n o t e L o g + x = m a x ~ o g x, O } , et
L o g _ x = m a x { - L o g x, O } .
D ~ s i g n o n s par ~ ( v , O, r) la m o y e n n e d ' u n e f o n c t i o n v sur la s p h e r e l]zll = r de c e n t r e 0 et de r a y o n r > O.
Q u i t t e ~ t r a n s l a t e r l ' o r i g i n e , on p e u t s u p p o s e r h(O) # O. C o m m e
Log÷ l 1 Log÷ Igb+ L o g Lhl,
et que, L o g lhl ~ t a n t s o u s ~ h a r m o n i q u e ,
L o g l h ( O ) l ~ ( L o g l h l , O, r) = % ( L o g + lhl , O, r) - ~ ( L o g _ lhl , O , r ) , on a
~ L o g + l ~ l , O, r ) ~ ~ (Log+ Igl, O, r) + ~ ( L o g + l h l , O, r ) - L o g l h ( O ) I D ' a u t r e p a r t on a ~ v i d e m m e n t
et ~ ( L o g + lhl O, r) ~ L o g lhl r
~ ( L o g + Igl , O,r) ~ L o g l g l r ,
E n f i n , en e x p r i m a n t par la f o r m u l e de P o i s s o n la f o n c t i o n h a r m o n i q u e H qui p r e n d les v a l e u r s L o g ~ l ~ I sum la s p h e r e llz'I = r , et en ~ c r i v a n t
Logl l on rouve
L o g l~Ir ~ 3"22n-2 %(Log+ I ~ ] , O, r).
D ' o ~ f i n a l e m e n t
L o g l ~ I r ~ 22n(Loglglr + Loglhlr - Log lh(O)l). ~
Ce l e m m e 3.6. n o u s a u t o r i s e ~ i n t r o d u i r e la dfifinition s u i v a n t e : D ~ F I N I T I O N . U n e f o n c t i o n f, m ~ r o m o r p h e d a n s cn, est d i t e d ' o r d r e s t r i c t $ @ s'il e x i s t e d e u x f o n c t i o n s e n t i ~ r e s g, h , d ' o r d r e s t r i c t ~ @ , t e l l e s que f = g/h.
C o n t r a i r e m e n t au cas des f o n c t i o n s e n t i ~ r e s , l ' o r d r e d ' u n e f o n c t i o n m ~ r o m o r p h e d a n s cn n e s t , pas d ~ t e r m i n ~ par la d ~ c r o i s s a n c e des c o e f f i ~ c i e n t s de T a y l o r en un p o i n t r ~ g u l i e r ( c o n s i d ~ r e r par e x e m p l e I / ( l - Z l ) ) .
Au § I, n o u s a v o n s c o n s i d ~ r ~ des f o n c t i o n s t r a n s c e n d a n t e s ; r a p - p e l o n s q u ' u n e f o n c t i o n f, a n a l y t i q u e au v o i s i n a g e d ' u n p o i n t w ~ ¢ n , est d i t e a l g ~ b r i q u e s'il e x i s t e P ~ ¢ [Xl , . . . , X n + l ] , P ~ O, tel que
P(z, f(z)) ~ 0 au v o i s i n a g e de w . U n e f o n c t i o n qui n ' e s t pas a l g ~ b r i q u e est d i r e t r a n s c e n d a n t e (En f a i t n o u s p o u r r i o n s n o u s l i m i t e r g ne
c o n s i d ~ r e r q u e d e s p o l y n S m e s ~ c o e f f i c i e n t s a l g ~ b r i q u e s ) . B i e n q u e le l e m m e s u i v a n t s o i t p r o b a b l e m e n t c l a s s i q u e , il s e m b l e o p p o r t u n d ' e n ~ c r i r e u n e d g m o n s t r a t i o n .
L E M M E 3.7. - L e s s e u l e s f o n c t i o n s e n t i ~ r e s d a n s Cn et a l g g b r i q u e s , s o n t les p o l y n $ m e s . L e s s e u l e s f o n c t i o n s m g r o m o r p h e s d a n s cn et a l g ~ b r i - q u e s s o n t les f r a c t i o n s r a t i o n n e l l e s .
D ~ m o n s t r a t i o n .
~ S o i t f u n e f o n c t i o n m ~ r o m o r p h e d a n s ~n, a ! g ~ b r i q u e : Po f k + . . . + P k - 1 f + Pk = O, Po ~ O.
M o n t r o n s d ~ j g q u e P o f o n c t i o n s e n t i ~ r e s
f est e n t i ~ r e . E e r i v o n s f = g / h , o~ g et h s o n t d e u x
M o n t r o n s q u e , en t o u t p o i n t w e cn, on a ( a v e c les n o t a t i o n s de [I0])
~ p g(W) ~ ~ h ( W ) , o
ce q u i p e r m e t t r a d e c o n c l u r e g r a c e a u t h f i o r ~ m e d e C o u s i n d a n s c n Comme
~ p g(W) = ~p (w) + ~ g ( W ) , il s u f f i t de c o n s i d ~ r e r w ~ cn tel q u e
o o
@ h ( W ) > ~ g ( w ) C o m m e
PO gk = - pl h g k - l _ . " " Pk hk on a
o ( W ) + k % ( w ) ~ / minl~<k].f4~.h(W) + ( k - ~ ) ~ g ( W ) } , donc
~ P o ( W ) + ~ g ( W ) >/ minl~k ( ( "~- I) ( ~ h ( W ) - ~ D g ( W ) ) } + ~ ( w ) ~ ~h(W)..
D o n c la f o n c t i o n F = P f e s t e n t i ~ _ r e , e t v f i r i f i e o
F k-I + P P2 F k - 2 . p k - I Pk O.
Fk + PI o +'" + o =
P o u r r g r a n d , s o i t w ~ C n, ~lw ~ = r , tel q u e IF(w)l IFIr ; on c o n s t a t e a l o r s q u e IFi c r o l t c o m m e u n e p u i s s a n c e de r, d o n c F est un p o l y n S m e .
r
E n f i n i l e s t c l a i r q u ' u n e f o n e t i o n r a t i o n n e l l e e n t i ~ r e e s t u n p o l y n S m e . . ~
§ 4. D ~ m o n s t r a t i o n d u t h ~ o r ~ m e 2 . 2 . ( P a r t i e a r i t h m ~ t i q u e ) .
N o u s a l l o n s e f f e c t u e r la p a r t i e a r i t h m ~ t i q u e d e l a d ~ m o n s t r a t i o n d u t h ~ o r ~ m e 2 . 2 . , la f i n d e la d ~ m o n s t r a t i o n ~ t a n t r e p o r t ~ e a u § 5.
P o u r c e l a , n o u s c o n s i d ~ r o n s u n s o u s - e n s e m b l e f i n i S d e c n , d o n t t o u s l e s ~ l ~ m e n t s w v ~ r i f i e n t l e s h y p o t h e s e s i, 2 et 3 d u t h ~ o r ~ m e 2 . 2 . S o i t ~ > 0 , et s o i t ~ = f( e ! + "'" + ~ ) + E d a n s le e a s g g n ~ r a l , et
= ~( @l + "'" + ~ ) - ( ~ - I) + ~ q u a n d l e s f o n c t i o n s f ] , . . . , f ~ s o n t e n t i ~ r e s . N o t r e b u t e s t d e d ~ m o n t r e r le r ~ s u l t a t s u i v a n t . ( L e s n o t a t i o n s s o n t c e l l e s d e [I0] ).
L E M M E 4 . 1 . - Ii e x i s t e u n e s u i t e (~N) d e f o n c t i o n s e n t i ~ r e s n o n i d e n t i q u e s ~ 0 d a n s c n ) e t i l e x i s t e u n e s u i t e (M N) d ' e n t i e r s p o s i t i f s )
a v e c M N ~ N , t e l l e s q u e
1. P o u r t o u t k ~ n ) I k ] < M N , e t __ w ~ S )
D k ~ N ( W ) = O . 2. P o u r t o u t r > O, o n a
~ N ( O , r) $ ( ~ + o ( I ) ) M N q u a n d N - - ~ .
T o u t le r e s t e d e ce p a r a g r a p h e e s t c o n s a c r ~ ~ la d ~ m o n s t r a t i o n d u l e m m e 4 . 1 .
M a n i f e s t e m e n t , il n ' y a p a s d e r e s t r i c t i o n ~ s u p p o s e r q u e l e s f o n c - t i o n s f l , . . . , f ~ s o n t d ' o r d r e s t r i c t i n f ~ r i e u r o u ~ g a l ~ ~ 1 ' ' ' " ' e ~ r e s - p e c t i v e m e n t . P o u r I g j ,< ~ , n o t o n s g j , hj d e u x f o n c t i o n s e n t i g r e s , d ' o r d r e s t r i c t ~ ej, t e l l e s q u e fj = g j / h j , a v e e h.j = I si foj e s t e n t i g r e ; de p l u s , p o u r w E S, s o i t k. ~ q n t e l q u e
j , w k.
Ikj ,w I = ~ h (w) et D j ,w h o (w) # O
• J
3
D ~ s i g n o n s p a r d u n e n t i e r r a t i o n n e l p o s i t i f t e l q u e dw. s o i t e n t i e r a l - l
g ~ b r i q u e p o u r t o u t w = (Wl , . . . , W n ) ~ S et I ~ i ~ n - ~ + I.
S o i t A u n e n t i e r s u f f i s a m m e n t g r a n d ; o n d ~ s i g n e r a p a r $I ' ' ' ' ' E l 2 d e s f o n c t i o n s p o s i t i v e s d e ~ q u i t e n d e n t v e r s 0 q u a n d A t e n d v e r s
l ' i n f i n i ; en p a r t i c u l i e r , ~ e s t c h o i s i s u f f i s a m m e n t g r a n d p o u r q u e
~8 < ~ / ( el + " ' " + C ~ )
A p r ~ s a v o i r c h o i s i a i n s i ~ , p o u r d ~ m o n t r e r le l e m m e 4.1. , et en p a r - t i e u l i e r p o u r en v ~ r i f i e r la p r o p r i ~ t g 2, on c o n s i d ~ r e un n o m b r e r g e l r > O , p u i s on d g s i g n e p a r N u n e n t i e r s u f f i s a m m e n t g r a n d .
On d ~ f i n i t d e s e n t i e r s fil ,... ,A~, L, p a r
= @ i + . . . + ~ • A , I ,<j .< x~ ;
I ° ]
L = N.A n - ~ +2
Par c o n v e n t i o n , on n o t e r a ( ~ , ~ ) au l i e u de ( )k I ... ) ~ ' ~ I ... ~ n - ~ + I 0 ~ X j < /~j , (I g j ~ ) , 0 6 ~ i ,~e, (l ,~i ~<n - ~ + I). A i n s i on ficrira
~ an l i e u de
4
A -1 A~-I L - I L-1
, o ; . - - > - 2
~'1 = O ~ = 0 ~ n - ~ + I =0
) ,
N o u s n o t e r o n s ~ X , ~ les f o n c t i o n s
C~A,~(z) = fl (z) I. . .f (z) . . .z 1 Z n _ i)+i
N o u s p o s e r o n s p = 1 d a n s le cas gfin~ral (fl ' ' ' ' ' f P m f i r o m o r p h e s ) , et ~ = l ( = i + . . . + ~ 1 d a n s le cas o~ fl , . . . , f ~ s o n t e n t i ~ r e s .
L E M M E 4.2. - S o i t w = (w I , . . . ,w n) m S. P o u r t o u t k ~IN n, le n o m b r e
~ = D k ~ , ~ ( w ) a p p a r t i e n t au c o r p s de n o m b r e s @(Wl , . . . , W n _ ~ + l ) . D e p l u s d ( n - ~ + ] ) L • =( est e n t i e r a l g f i b r i q u e , et le m a x i m u m d e s v a l e u r s a b s o l u e s des c o n i u g u ~ s de,~ e s t m a j o r ~ p a r
I~ I~<exp { ( p + ~ I ) K L o g K } , o__~ K = m a x {N , Ikl}.
D@monstration du lemme 4.2.
Ecrivons
I h- ~I 2v n-~+l (~17 i ~ ~i-ki+hl
Z /
• = . . . - - D [fl "" ( w ) . ~ [ w i ,
hi hn-~ +I i=l m l
o~ on a not6 h : (h I .... ,hn_~+l, k n _ 9 + 2 ... kn) , et o~, pour i~-i-~n-4+l , la somme sur h i est ~tendue ~ l'intervalle max( O, k i - ~ i ) ~ - h i ~ k i . On oonstate ainsi que ot~ @(w l,...,wn_ v+l ) ' st que d ( n - 9 +I)L est un d@nominateur d e ~ . Majorons ~ :
)(w l r 7 ( m x{ql , )
h i=l
On majore k! par Jkl ~k~ , puis on oonsid~re deux oas.
Premier oas : ~k| -~ N / L o ~ . A l o r s la premiere partie du lemme 3.5 donne facilement : L o g ~ £ 1 N L o g N .
Deuxi~me cas : ~k ~> N/LogA, Comme
lh~ ~ ~k| - ( n - ~ + l ) L F ( l - L o ~ ) i k l , on a, pour "~ = I / L o ~ A :
Log ( ~ h l ~ +I) > ( fl+... +''] ~ - 62) Log~k~ , (l~-j ~9) ; grace au lemme 3.5 e% & la d~finition de ~ , on obtient :
fl ~ ~v q
Log(~.~ }Dh( l...f v )(w) I ) ~ (r-l+ % ) I k l L o g ~ k I + C s ~ + ( Z ~ . ) ( c 5 + n L o g ( ~ k ~ + l ) ) , j=l
ce qui permet de conelure.
Nous allons effectuer la d~monstration du lemme 4.1. en 3 pas.
P r e m i e r pas. II e x i s t e des e n t i e r s r a t i o n n e l s p( ~ , ~ ) n o n tous nuls, m a j o r , s par exp( g4 N Log N) en v a l e u r a b s o l u e ~ tels que la f o n c t i o n
v ~ r i f i e
D k F(w) = 0 pour tout w ~ S e__~t k ~ N n, Ik[ < N.
~ P o u r c o n s t r u i r e ces e n t i e r s r a t i o n n e l s , on r ~ s o u t le s y s t ~ m e
• ~ p ( ) % ~ ) ~ ( n - ~ + l ) L D k ~ , ~ (w) = O,
ayant A1 " . . ~ ) L n- ~ + I i n c o n n u e s P( >k, ~ ) dans Z j, au plus N n C a r d S
~ q u a t i o n s , ~ c o e f f i c i e n t s e n t i e r s a l g ~ b r i q u e s dont les cofljugu~s sont m a j o r , s en v a l e u r a b s o l u e par exp {(p + g5 ) N L o g N } , g r a c e au lemme 4.2.
En u t i l i s a n t le lemme de S i e g e l (voir par e x e m p l e [9], lemme 1.3.1. et e x e r c i c e 1.3.b.), on o b t i e n t le r ~ s u l t a t d ~ s i r ~ . - 4
