Universit´e de Toulon 2 novembre 2016 Correction Partiel d’Analyse Num´erique, M33 (dur´ee: 1 heure 10) (Tout document interdit)

Universit´e de Toulon 2 novembre 2016

Correction Partiel d’Analyse Num´ erique, M33 (dur´ ee:

1 heure 10)

(Tout document interdit)

Exercice 1.

(2.5 pt.) Proposer une expression du polynˆ ome de Lagrange qui interpole la fonction f d´ efinie par f (x) = x ² sin(x) aux points d’abscisse 0, 1, 2, 3.

On introduit les polynˆ omes de Lagrange ´ el´ ementaires (L _i ) ₀ ≤ i ≤ 3 construits sur les points d’abscisse 0, 1, 2, 3. Par d´ efinition de cette base, le polynˆ ome p d’interpolation de Lagrange interpolant f en 0, 1, 2, 3 s’´ ecrit:

p = 0L ₀ + sin(1)L ₁ + 4 sin(2)L ₂ + 9 sin(3)L ₃ = sin(1)L ₁ + 4 sin(2)L ₂ + 9 sin(3)L ₃ , avec

L ₁ (x) = −x(x − 2)(x − 3)/2 L ₂ (x) = −x(x − 1)(x − 3)/2 L ₃ (x) = x(x − 1)(x − 2)/6.

Exercice 2.

(1.5 pt.) Proposer, sans calcul, le polynˆ ome de Lagrange qui interpole les points (0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9), (5, 11), (6, 13), (7, 15), (8, 17), (9, 19). Justifier qu’il s’agit bien du polynˆ ome de Lagrange.

On constate que les abscisses s’incr´ ementent de 1 alors que les ordonn´ ees s’incr´ ementent de 2. On en d´ eduit qu’une expression affine satisfait l’interpolation. On propose:

p(x) = 2x + 1.

Ce polynˆ ome interpole les points propos´ es, il est de degr´ e 1 et est donc a fortiuri ´ el´ ement de IR ₉ [x], p est donc l’unique polynˆ ome de Lagrange interpolant ces 10 points.

Exercice 3.

(2.5 pt.) Proposer, avec peu de calcul, le polynˆ ome de Lagrange qui interpole les points (0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9), (5, 11), (6, 13), (7, 15), (8, 17), (9, 20). Justifier qu’il s’agit bien du polynˆ ome de Lagrange.

En s’inspirant de l’exercice pr´ ec´ edent, on constate qu’il est astucieux de chercher le polynˆ ome d’interpolation de Lagrange, not´ e r, sous la forme:

r = p + q,

avec p(x) = 2x + 1. Ainsi q interpˆ ole les points (0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (5, 0), (6, 0), (7, 0), (8, 0), (9, 20 − 19 = 1). Ainsi on a q(x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6)(x − 7)(x − 8)/9!, d’o` u l’expression de r.

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Exercice 4.

(2.5 pt.) Donner l’expression d’un polynˆ ome p de IR ₃ [x] tel que p(1) = 0, p ⁰ (1) = 0, p(2) = 0 et p(3) = 1. V´ erifier que p est unique dans IR ₃ [x].

On cherche p sous la forme p(x) = (x − 1) ² (x − 2)q(x) car 1 est racine de p et de p ⁰ et 2 est racine de p. En cherchant p ´ el´ ement de IR ₃ [x], on est contraint de choisir q constant.

Comme p(3) = 1, on trouve q = 1/4 et

p(x) = (x − 1) ² (x − 2)/4.

Pour s’assurer l’unicit´ e de p dans IR ₃ [x], on suppose qu’il existe p et q ´ el´ ements de IR ₃ [x]

satisfaisant les conditions d’interpolation. Alors r = p − q peut se factoriser comme r(x) = (x − 1) ² (x − 2)(x − 3)z(x),

avec z qui est n´ ecessairement nul car sinon le degr´ e de r est sup´ erieur strictement ` a 3.

Exercice 5.

(2 pt.) On suppose une fonction f ∈ C ^∞ (IR, IR). On note p le polynˆ ome de Lagrange qui interpole f aux abscisses 0, 1, 2, 3. Donner une estimation d’erreur entre f et p sur [0, 3]

faisant intervenir la d´ eriv´ ee quatri` eme de f.

Question de cours. Revoir le cours si vous ne savez pas r´ epondre.

Exercice 6.

On veut r´ esoudre l’´ equation e ^−x = x dans IR.

1. (2.5 pt.) V´ erifier que cette ´ equation admet une unique solution, not´ ee α, dans IR ^+∗ . On ´ etudie la fonction f (x) = e ^−x − x sur IR, on cherche ` a montrer que f s’annule une et une seule fois sur IR <sup>+∗</sup> . Cette fonction est la somme de deux fonctions strictement d´ ecroissantes, elle est donc strictement d´ ecroissante. Or f(0) = 1 et f est d´ ecroissante continue, la fonction ne s’annule donc pas sur IR <sup>−</sup> . De plus, lim x→+∞ f(x) = −∞ et f est continue, on en d´ eduit par le th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires que f s’annule sur IR ^+∗ et seulement une seule fois par stricte monotonie de f . Ainsi il existe une unique solution, not´ ee α, dans IR ^+∗ satisfaisant f(α) = 0.

2. (3 pt.) Soit g : IR → IR la fonction d´ efinie par g(x) = e ^−x . On d´ efinit la suite r´ ecurrente

u _n+1 = g(u _n ), u ₀ ∈ IR. (1)

Faire le graphe . . .

On veut montrer que (u _n ) _n∈ IN converge vers α. Pour cela, observer et dessiner d’abord la convergence graphique de la suite. Justifier math´ ematiquement la convergence ob- serv´ ee graphiquement.

On observe que la suite est positive ` a partir du rang 1 (au moins), non monotone, mais convergente vers α. Comme g est strictement positive (une exponentielle!) la suite (u <sub>n</sub> ) <sub>n</sub> (u <sub>n+1</sub> = g(u <sub>n</sub> )) est strictement positive ` a partir du rang 1. Or g envoie IR ^+∗ sur IR ^+∗ et |g ⁰ (x)| = e ^−x < 1 sur IR ^+∗ . Par le th´ eor` eme du cours, on sait que la suite (u _n ) _n converge vers l’unique point fixe de g sur IR ^+∗ qui est aussi l’unique 0 de f not´ e α.

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3. (1.5 pt.) Ecrire la m´ ethode de NEWTON pour r´ esoudre l’´ equation e ^−x = x.

On ´ ecrit la m´ ethode de Newton pour la recherche du z´ ero de f . Cela revient ` a introduire la suite d´ efinie par r´ ecurrence

v _n+1 = v _n − f(v _n )

f ⁰ (v _n ) = v _n + e ^−v

− v _n

e ^−v

+ 1 , v ₀ ∈ IR.

4. (2.5 pt.) Entre la m´ ethode de NEWTON et la m´ ethode de point fixe (1), laquelle faut-il pr´ ef´ erer vis-` a-vis de la vitesse de convergence ? Justifiez votre r´ eponse.

On sait que la m´ ethode de Newton converge ` a l’ordre 2 au moins alors que la suite (u n ) <sub>n∈</sub> IN propos´ ee converge ` a l’ordre 1 puisque g ⁰ (α) 6= 0. La m´ ethode de Newton est donc plus rapide.

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