UNIVERSIT ´E PARIS 6 LM366, 2008-2009 Examen du 28 Mai 2009
Dur´ee : 3 heures
Les documents ne sont pas autoris´es. Les exercices sont ind´ependants.
On note D(0, r)⊂C le disque ouvert de centre 0 et de rayon r >0. On note
∂D(0, r) le bord de D(0, r), orient´e dans le sens direct.
Exercice 1(2 points)
Etant donn´e un entier´ n ∈IN, d´eterminer toutes les fonctionsf ∈ O(C ) telles qu’il existe C ≥0 tel que :
∀z ∈C, |f(z)| ≤C(|z|n+ 1).
Exercice 2(4 points) 1. Pourr ∈]0,1[, calculer l’int´egrale :
Z
∂D(0,r)
Log (1−z)
z dz.
2. En d´eduire que, pour tout r∈]0,1[, Z π
−π
ln|1−reit|dt= 0.
3. En faisant tendrer vers 1, en d´eduire la valeur de l’int´egrale Z π/2
0
ln(sint)dt.
(On v´erifiera d’abord que cette int´egrale est absolument convergente et on justifiera soigneusement le passage `a la limite sous le signe d’int´egration.)
Exercice 3(4 points)
1. Calculer min|z|=1|ze−z|. En utilisant par exemple le th´eor`eme de Rouch´e, montrer que, pour toutw∈D(0,1/e), il existe une et une seule solution z de l’´equation ze−z =w dans le disqueD(0,1).
On la note h(w).
2. Pourw∈D(0,1/e), calculer l’int´egrale 1
2iπ Z
∂D(0,1)
z(1−z)e−z ze−z−w dz.
3. En d´eduire qu’on a :
|w|<1/e, h(w) =
+∞
X
n=1
nn−1 n! wn.
Quel est le rayon de convergence de la s´erie enti`ere ci-dessus ?
1
2
Probl`eme (10 points)
On noteE l’ensemble des fonctions f, m´eromorphes sur C∗, non iden- tiquement nulles, v´erifiant la propri´et´e suivante : il existe un nombre complexe c(d´ependant de f), tel que :
(1) ∀z ∈C∗, f(2z) =cf(z).
Si f ∈E, on notera c(f) le nombre cassoci´e `a f par l’identit´e (1).
1.Montrer que, sif etgappartiennent `aE, alorsf getf /gappartiennent
`a E. Calculer c(f g) et c(f /g) en fonction de c(f) et de c(g).
2. a) Montrer que la formule p(z) =
+∞
Y
n=0
1− z 2n
! +∞
Y
n=1
1− 1
z2n !
d´efinit une fonction holomorphe sur C∗. Pr´eciser ses z´eros ainsi que leurs multiplicit´es.
b) V´erifier qu’on a :
∀z ∈C∗, p(2z) =−2zp(z).
3. Etant donn´es deux nombres complexes distincts´ a et b, on d´efinit la fonction ka,b, m´eromorphe sur C∗, par :
ka,b(z) = p(z/a) p(z/b).
Montrer queka,b appartient `aE. Pr´eciser l’ensemble de ses z´eros et l’en- semble de ses pˆoles. Calculer c(ka,b).
4. Soit f ∈E.
a) Montrer que si f n’a pas de pˆole dans C∗, f est de la formef(z) = azp avec a∈C∗ et p∈ZZ.
b) Montrer qu’on a la mˆeme conclusion si f n’a pas de z´ero dans C∗. 5. Soit f ∈ E. Montrer que f a un nombre fini de z´eros et un nombre fini de pˆoles dans la partie G de C d´efinie par :
G={z ∈C, 1≤ |z|<2}.
On note respectivement a1, . . . , am et b1, . . . , bn les z´eros et les pˆoles de f dans G, r´ep´et´es selon leurs multiplicit´es.
Si l’on suppose m et n strictement positifs, quels sont les z´eros et les pˆoles dans G de la fonction f /ka1,b1?
6.On continue avec les mˆemes notations que dans la question pr´ec´edente.
Montrer que m=n et qu’il existe p∈ZZ et a∈C∗ tels que : f(z) =azp
n
Y
j=1
kaj,bj(z).
