UNIVERSIT ´E PARIS 6 LM366. 2007-2008
FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE Partiel du 17 Avril 2008
Dur´ee : 3 heures
Les documents ne sont pas autoris´es. Les exercices sont ind´ependants.
Exercice 1
1. Donner une d´emonstration du th´eor`eme de Liouville : une fonction f ∈ O(C ), born´ee, est constante.
2. Montrer que si f ∈ O(C ) n’est pas constante, son image f(C ) est dense dans C .
Exercice 2 1. Etant donn´e´ r >1, calculer l’int´egrale
I(r) = Z
γr
eiz 1 +z2 dz ;
o`uγr est le lacet repr´esent´e ci-dessus, obtenu en juxtaposant un segment et un arc de cercle de centre 0.
2. Utiliser ce r´esultat pour calculer R+∞
0 (cosx)/(1 +x2)dx.
Exercice 3
Si w ∈ C\]− ∞,0] eta ∈C , on note wa = exp(aLogw), o`u Logw est le logarithme principal de w. On pose :
(1) z ∈C, h(z) =
Z +∞ 0
etzt−tdt.
1. Montrer que (1) d´efinit une fonctionh holomorphe sur C . Montrer que h(z) =h(z) pour tout z ∈C .
2. Dans cette question, z =x+iy ∈C est fix´e et on note : w∈C, f(w) = ew zw−w.
(En fait, f(w) d´epend aussi de z!)
Etant donn´es 0´ < < r, on noteγ, r le lacet repr´esent´e ci-dessous, obtenu en juxtaposant deux segments et deux arcs de cercle de centre 0.
a) Donner un ouvert convexe Ω qui contient l’image du lacet γ, r et sur lequel f est holomorphe.
1
2
b) Montrer que Z
γ, r
f(w)dw= 0.
c) Si ρ >0 et θ∈[0, π/2], v´erifier l’´egalit´e :
|f(ρeiθ)| = e−ρcosθ(Logρ−x)eρsinθ(π/2−y). d) `A l’aide de ces r´esultats, montrer qu’on a :
|Imz|> π/2 ⇒ h(z) = Z +∞
0
eisz(is)−isids.
3. En d´eduire que, pour tout z ∈C , on a
|Imz|> π/2 ⇒ |h(z)| ≤1/(|Imz| −π/2), puis que la fonction h est born´ee sur {z ∈C, |Imz| ≥π}.
4.Montrer que la fonction enti`ere z 7→g(z) := h(z−2iπ) est born´ee sur toute droite qui passe par 0. Est-elle born´ee sur C ?
Exercice 4 Soit a, b∈IR avec a < b. On note :
Ω :={z =x+iy ∈C, a < x < b}, Ω :={z =x+iy ∈C, a≤x≤b}.
1. Soit A >0, B >0. Montrer que
g(z) =A(b−z)/(b−a)B(z−a)/(b−a). d´efinit une fonction holomorphe sur C et qu’on a :
|g(x+iy)|=A(b−x)/(b−a)B(x−a)/(b−a).
2. Soit f une fonction continue sur Ω, holomorphe sur Ω. On note : x∈[a, b], M(x) = sup
y∈IR
|f(x+iy)|.
On suppose f born´ee et M(a) =A >0,M(b) =B >0.
Montrer que la fonctionz 7→h(z) =f(z)/g(z) est continue et born´ee sur Ω, holomorphe sur Ω et que |h(x+iy)| ≤1 si x=aou si x=b.
3. Montrer qu’on a |h(z)| ≤1 pour tout z ∈Ω.
(Indication : appliquer le principe du maximum `a la fonction h(z) := h(z)/(1 +(z−a))
sur des rectangles convenablement choisis et faire tendre vers 0.) 4. Montrer que, pour tout x∈[a, b], M(x)≤A(b−x)/(b−a)B(x−a)/(b−a).
