IRS 2007-2008 Groupe BMW Universit´e Paris 8
Nom : Pr´enom : Num´ero d’´etudiant :
Contrˆ ole de connaissance le 6 f´ evrier 2008
Dur´ee : 3 heures
I. SoientP={A, B, C}un ensemble qui contient trois variables propositionnelles,
A =P∪ {¬,∧,∨,⇒,⇔,),(}. On d´esigne parM(A) l’ensemble des mots `a l’alphabetA et parF l’ensemble des formules `a l’alphabetA. Pour tout motM dansM(A), on d´esigne par lg[M] la longueur deM. SiF est une formule dansF, on d´esigne par h[F] la hauteur deF. 1. Montrer que, pour toute formuleF∈F, lg[F]≤2h[F]−3.
2. On consid`ere la formule
F = ((¬A⇒(C⇒B))⇒((B⇒A)⇒(A∧(¬B∧C)))) 1) D´eterminer l’arbre de d´ecomposition sous forme simplifi´ee et la hauteur deF. 2) D´eterminer le tableau de valeurs de v´erit´e deF.
3. On applique le calcul des propositions dans le cas suivant : A=“Pierre a r´eussi son examen”
B=“Marie est contente”
C=“Pierre pleure”
1) Exprimer les ´enonc´es suivants sous forme de formule propositionnelle :
— “Pierre a r´eussi son examen ou Marie est contente”
— “Il n’est pas vrai que Pierre a r´eussi son examen si Marie est contente”
2) On consid`ere l’argument suivant :
Ou bien Pierre n’a pas r´eussi son examen, ou bien Marie est contente. Mais si Pierre n’a pas r´euissi son examen, il pleure. Et si Pierre pleure, Marie n’est pas contente. Par cons´equent, Pierre a r´eussi son examen si et seulement si Marie est contente.
i) Exprimer l’argument au-dessus en une formule propositionnelleF. ii) D´eterminer l’arbre de d´ecomposition sous forme simplifi´ee deF. iii) L’argument comm ci-dessus est-il une tautologie ? Pourquoi ? 4. Consid´erons le probl`eme suivant :
Le prince Beaudiscours est dans un cruel embarras. Le voici au pied du manoir o`u la f´ee Antinomie retient prisonni`ere la douce princesse V´erit´e. Deux portes donnent acc`es au chˆateau. L’une conduit aux appartements de la princesse, l’autre s’ouvre sur l’antre d’un dragon. Le prince sait seulement que l’un de ces portes s’ouvre si on ´enonce une proposition vraie, et l’autre si on ´enonce une proposition fausse.
D´eterminer la proposition que le prince doit ´enoncer pour d´elivrer la princesse.
II. On consid`ere un langage du premier d’ordreL qui contient
— un symbole de constantec,
— un symbole de fonction `a une placef,
— deux symboles de relation `a deux places'et.
On d´esigne parV ={v0, v1,· · · }l’ensemble des symboles de variable.
1. On consid`ere laL-structureMdont l’ensemble sous-jacent estM comme ci-dessous : i) M est l’ensemble des pays du monde,
ii) cM est la France,
iii) fM est l’application d’identit´e deM, c’est-`a-direfM(x) =x,
iv) (x, y)∈M ×M v´erifie la relation'M si et seulement si l’´equipe football du payxa jou´e contre celle dey en 2007,
v) (x, y)∈M ×M v´erifie la relationM si et seulement si l’´equipe footballe du payxa battu celle dey au moins une fois en 2007.
1) Interpr´eter dans cette L-structure les formules suivantes : (a) ∀v0('v0c⇒v0c)
(b) ∀v0∃v1(¬ 'v0f v1) (c) ∀v0(cv0⇒ ∃v1v0v1)
2) Pour chaque ´enonc´e au-dessous, trouver une formule qui ne contient pas de sous-mot de la forme¬(,¬∀, ¬∃ou¬¬et dont l’interpr´etation dansL donne l’´enonc´e
correspondant.
(a) Toutes les ´equipes ont battu la France en 2007.
(b) En 2007, toutes les ´equipes qui ont jou´e avec la Frace ont ´et´e battues par la France.
(c) En 2007, aucune ´equipe n’a battu toutes les ´equipes qui ont jou´e contre la France.
2. On consid`ere la formule
F =∀v0(∃v1∀v0(v0v1⇒ ¬ 'v0v2)∧ ∀v2(∃v2(v1v2∨ 'f v0c)∧ 'v1v2)) D´eterminer toutes les occurences libres dans la formuleF.
3. On consid`ere la th´eorieS0 dans ce langage, constitu´ee des axiomes suivants : A1 : ∀v0∀v1('f v0f v1⇔'v0v1)
A2 : ∀v0∀v1(f v0f v1⇔v0v1) A3 : ∀v0f v0v0
A4 : ∀v0v0c A5 : ∀v0v0v0
A6 : ∀v0∀v1∀v2((v0v1∧ v1v2)⇒v0v2)
1) Montrer que la th´eorieS0 est consistante par construire un mod`ele. (Indication : on peut par exemple consid´erer l’ensemble Nmuni de la relation d’ordre habituelle et de l’application de d´ecalagen7→n+ 1)
2) Montrer que la formuleF =∀v0f f v0v0 est une cons´equence formelle deS0.
