UNIVERSIT ´E PAUL SABATIER 2007-2008

UNIVERSIT ´ E PAUL SABATIER 2007-2008

Licence de Math´ematiques Fondamentales

CORRIGE DU´ PROBLEME DE` TOPOLOGIE

Questions pr´eliminaires.

a) Par r´ecurrence. On a ϕ(0) ≥ 0 et si ϕ(n) ≥ n, alors ϕ(n+ 1) > ϕ(n) ≥ n, d’o`u ϕ(n+ 1)≥n+ 1. Il est alors clair quelim_n→∞ϕ(n) = +∞.

b) Commelimn→∞ϕ(n) = +∞, on construit par r´ecurrence une suite d’entiers(n_k)k∈N

telle que ϕ(n_k+1) > ϕ(n_k)et ϕ(n_k+1) ≥ ϕ(k+ 1), de sorte que ψ(k) := ϕ(n_k)d´efinit une sous-suite etlimk→∞x_ψ(k) = limn→∞x_ϕ(n) =x. On a bien alors quex∈adh(x_n)n∈N.

c) Si M ∈ R, alors pour tout ε > 0, il existe a ∈ A tel que M −ε < a ≤ M, donc l’intervalle]M −ε, M +ε[rencontreA, d’o`uM ∈ A. SiM = +∞, alors pour toutt > 0, il existea ∈Atel quet < a, donc l’intervalle]t,+∞]rencontreA, d’o`uM ∈A.

1) a) Pourx∈R, on prendV_p =]x−2^−p, x+ 2^−p[, pourx= +∞, on prendV_p =]p,+∞]et six=−∞, on prendV_p = [−∞,−p[.

b) Supposons que la suite (x_n)_n∈N est born´ee. D’apr`es le Th´eor`eme de Bolzano-Weier- strass, il existe une sous-suite qui converge donc adh(x_n)n∈N 6= ∅. Supposons que la suite (x_n)n∈N n’est pas major´ee, et posons K = {k ∈ N : x_k = +∞}. SiK est infini, alors il existe une sous-suite qui converge vers +∞. Si K est fini, il existe donc n₀ tel que x_k est fini pour tout k ≥ n₀. on peut suposer que la suite (x_n)n≥n₀ n’est pas born´ee (sinon on est ramen´e au cas pr´ec´edent). Il existe alors ϕ(1) ≥ n₀ tel que x_ϕ(1) > 1. Supposons connus n₀ ≤ ϕ(1) < ϕ(2) <· · · < ϕ(n)tels quex_ϕ(k) > k pour toutk ∈ {1,· · ·, n}. Alors il existe p > ϕ(n)tel que x_p > n+ 1, posonsϕ(n+ 1) = pet on construit ainsi par r´ecurrence une sous-suite qui converge vers+∞. De mˆeme, si la suite(x_n)n∈Nn’est pas minor´ee, on construit une sous-suite qui converge vers−∞.

c) Soitx ∈ adh(x_n)n∈N. Supposons qu’il existe un voisinageV dex, tel que l’ensemble {p ∈ N : xp ∈ V} soit fini. Il existe donc un entierm0 tel que xn ∈/ V pour tout n ≥ m0. Consid´erons alors une sous-suite (x_ϕ(n))n∈N qui converge vers x. Il existe donc n₀ tel que x_ϕ(n) ∈ V pour tout n ≥ 0. Comme limn→∞ϕ(n) = +∞ (il suffit d’utiliser le fait que ϕ(n)≥npour toutn∈N), on auraφ(n)≥m0pour au moins unn≥0, d’o`u la contradiction x_n ∈V etx_n∈/ V.

d) Consid´erons une base d´enombrable et d´ecroissante de voisinages de x tel que pour tout voisinage V dex, l’ensemble {p ∈ N : x_p ∈ V} est infini. Il existe alors x_ϕ(1) ∈ V₁. Supposons connusϕ(1) <· · · < ϕ(n)tels quex_ϕ(k) ∈V_p pour toutk ∈ {1,· · ·, n}. Comme {p ∈ N : x_p ∈ V_n+1} est infini, il existe p > ϕ(n) tel que x_p ∈ V_n+1. On pose alors ϕ(n+ 1) =pet l’on d´efinit ainsi par r´ecurrence une sous-suite(x_ϕ(n))_n∈Ntelle quex_ϕ(n)∈V_n pour toutn. Soit alorsV un voisinage dexet soitn₀ ∈Ntel queV_n ⊂ V pour toutn ≥ n₀. On a donc x_ϕ(n) ∈ V pour tout n ≥ n₀, ce qui montre que (x_ϕ(n))n∈N converge vers xdonc x∈adh(x_n)_n∈N.

2) a) Soitx= limn→∞x_ϕ(n)et soit(x_ϕ(n))n∈Nune sous-suite qui converge versx. ´Etant donn´e p ∈ N, il existe k0 ∈ N tel queϕ(k) ≥ p, pour toutk ≥ k0, soitxϕ(k) ∈ {xn : n ≥ p}pour toutk≥k₀, donc on ax∈ {x_n:n≥p}pour toutp∈N, d’o`ux∈T

p∈N{x_n :n≥p}.

1

b) Supposons, par l’absurde, qu’il existe unx ∈ T

p∈N{x_n:n ≥p} et unn ∈ N tel que l’ensemble{p ∈ N : x_p ∈ V_n} est fini o`u(V_k)_k∈N est une base de voisinages dex. Il existe donc p₀ ∈ N tel que x_p ∈/ V_n pour tout p ≥ p₀. Il en r´esulte que x /∈ {x_p :p≥p₀}, ce qui est absurde. On a donc montr´e, utilisant 1), d), que T

p∈N{xn :n≥p} ⊂ adh(xn)n∈N. Combinant ce r´esultat avec a), on obtient T

p∈N{xn :n≥p} = adh(xn)n∈N, ce qui montre bien que adh(x_n)n∈Nest ferm´e comme intersection de ferm´es.

3) a) Pour p ≤ q, on a {n ≥ q} ⊂ {n ≥ p} donc sup_n≥qx_n ≤ sup_n≥px_n soit y_q ≤ y_p avec raisonnement analogue pour zp ≤ zq. L’in´egalit´e zp ≤ xp ≤ yp r´esulte du fait que p∈ {n≥p}.

b) Comme la suite(y_p)p∈N(resp. (z_p)p∈N) est d´ecroissante (resp. croissante), sa limite est identique `a sa borne inf´erieure (resp. sup´erieure). Par ailleurs, utilisant la question pr´eliminaire, on remarque que y<sub>p</sub> ∈ {x<sub>n</sub>:n≥p}, donc, pour tout p ∈ N et pour toutq ≥ p, on a y<sub>q</sub> ∈ {x<sub>n</sub> :n ≥p}d’o`uy= limp→∞y_p appartient `a{x_n:n≥p}et ce, pour toutp∈N. On a donc

lim sup

n→∞

x_n ∈ \

p∈N

{x_n :n ≥p}=adh(x_n)n∈N.

Raisonnement analogue pourlim infn→∞x_n ∈adh(x_n)n∈N. c) Commeϕ(p)≥ppour toutn ∈N, on a

y_p = inf

n≥px_n≤x_ϕ(p)≤sup

n≥p

x_n=z_p, pour toutp∈N, d’o`u

p→∞lim y_p ≤ lim

p→∞x_ϕ(p) ≤ lim

p→∞z_p,

soitlim infn→∞x_n ≤x≤lim sup_n→∞x_n. On a vu quelim sup_n→∞x_n(resp.lim infn→∞x_n) appartient `a adh(xn)n∈N et on vient de voir que tout ´el´ement de adh(xn)n∈N est inf´erieur (resp. sup´erieur) o`u ´egal `a lim sup_n→∞x_n (resp.lim infn→∞x_n), donclim sup_n→∞x_n (resp.

lim infn→∞x_n)est la plus grande (resp. petite) limite d’une sous-suite convergente de(x_n)n∈N. 4) a) Supposons que la suite (xn)n∈N `a valeurs dans R converge vers x ∈ R. Il en r´esulte quex ∈ adh(x_n)n∈N, donc lim infn→∞x_n ≤ x ≤ lim sup_n→∞x_n. Commelim infn→∞x_n = lim sup_n→∞x_n, on obtient bien quelim infn→∞x_n =x= lim sup_n→∞x_n.

b) Pour toutp∈ N, on ayp ≤xp ≤zp. Il en r´esulte que silimp→∞yp = limp→∞zp :=x, alorslimp→∞x_p =x.

5) a) ´Evident, car pour toutp∈N, on asup_n≥px_n ≤sup_n≥py_netinfn≥px_n ≤infn≥py_n. b) On peut supposer quelim infn→∞xn > −∞ etlim infn→∞yn > −∞car dans la cas contraire, le membre de droite de l’in´egalit´e demand´ee vaut −∞donc elle est v´erifi´ee. Soit alorsλ,µ ∈ Rtels queλ < lim infn→∞x_n etµ < lim infn→∞y_n. Par d´efinition de la borne sup´erieure, il existe des entiersp0etq0tels queλ <infn≥pxnpour toutp≥p0etµ <infn≥qyn

pur toutp≥q₀. Pour toutp≥max(p₀, q₀), on a λ+µ < inf

n≥max(p₀,q0)x_n+ inf

n≥max(p₀,q0)y_n≤lim inf

n→∞ x_n+ lim inf

n→∞ y_n.

Faisant tendre(λ, µ)vers(lim inf_n→∞x_n,lim inf_n→∞y_n), on obtient bien que lim inf

n→∞ (x_n+y_n)≥lim inf

n→∞ x_n+ lim inf

n→∞ y_n. (1)

2

Dans le casx_n = (−1)ⁿet y_n = (−1)ⁿ⁺¹, on a x_n+y_n ≡ 0 donclim infn→∞(x_n+y_n) = 0, alors que lim inf_n→∞x_n = lim inf_n→∞y_n = −1, d’o`u l’in´egalt´e (1) est stricte pour cet exemple.

Remarquant quelim sup_n→∞x_n=−lim infn→∞(−x_n), on en d´eduit que lim sup

n→∞

(x_n+y_n)≤lim sup

n→∞

x_n+ lim sup

n→∞

y_n

d`es que la somme a un sens dans le membre de droite.

c) Remarquant quex_n= (x_n+y_n) + (−y_n)et que lim sup

n→∞

(−y_n) =−lim inf

n→∞ y_n =− lim

n→∞y_n,

on d´eduit de b) que lim sup

n→∞

x_n≤lim sup

n→∞

(x_n+y_n)−lim inf

n→∞ y_n= lim sup

n→∞

(x_n+y_n)− lim

n→∞y_n, donc

lim sup

n→∞

(x_n+y_n)≥lim sup

n→∞

x_n+ lim

n→∞y_n. Par ailleurs, on a

lim sup

n→∞

(x_n+y_n)≤lim sup

n→∞

x_n+ lim sup

n→∞

y_n= lim sup

n→∞

x_n+ lim

n→∞y_n, d’o`u

lim sup

n→∞

(x_n+y_n) = lim sup

n→∞

x_n+ lim

n→∞y_n. D´emonstration analogue pour

lim inf

n→∞ (x_n+y_n) = lim inf

n→∞ x_n+ lim

n→∞y_n.

Question subsidiaire. L’ensembleG:=Z+ 2πZest un sous-groupe de(R,+), il est donc de la formeaZaveca∈Rou dense dansR(voir par exemple [1]). Le premier cas est impossible car sinon, comme 1 ∈ G, on aurait 1 ∈ aZdonc a ∈ Q et2π ∈ aZ, ce qui impliquerait la contradiction que π ∈ Q. CommeG est dense, il existe deux suites(ϕ(k))k∈N et(ψ(k))k∈N

d’´el´ements deZtelles quelimk→∞(ϕ(k) + 2πψ(k)) = 0. Changeant ´eventuellementϕ(k)en

−ϕ(k)etψ(k)en−ψ(k), on peut supposer queϕ(k) ∈Npour toutkassez grand (examiner les cas o`u{k ∈ N : ϕ(k) ∈ N}est fini ou non). On alimk→∞ϕ(k) = +∞, car dans le cas contraire une sous-suite de la la suite ϕ(k)k∈N encore not´ee ϕ(k)k∈N serait major´ee. Ce qui impliquerait que la suite (cos(ϕ(k))k∈Nne prend donc qu’un nombre fini de valeurs. Comme elle converge vers 1, il existerait donc des entiersϕ(k)pour lesquels on auraitcos(ϕ(k)) = 1, ce qui est impossible car π est irrationnel. D’apr`es la partie b) de la question subsidiaire, on obtient alors que1∈adh(xn)n∈N. Comme adh(xn)n∈N⊂[−1,1], on obtient que 1 est la plus grand ´el´ement de adh(x_n)n∈N, d’o`ulim sup_n→∞cos(n) = 1.

R´ef´erences

[1] http ://asoyeur.free.fr/fichiers ps/2003/dl/dl 03 s groupes R.pdf

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