UNIVERSIT´E PARIS 6 LM366. 2005-2006 FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE
Examen du 27 Juin 2006 Dur´ee : 3 heures
Les documents ne sont pas autoris´es. Les exercices sont ind´ependants, sauf pour une exception qui sera signal´ee.
Exercice 1
Soit f une fonction holomorphe au voisinage du disque ferm´eD(0, r), de centre 0 et de rayon r >0. On note
f(z) =
+∞
!
n=0
anzn
son d´eveloppement en s´erie enti`ere. On note u(z) = Ref(z).
1. Montrer qu’on a Rea0 = 1
2π
" 2π 0
u(reiθ)dθ, et an= 1 πrn
" 2π 0
u(reiθ)e−inθdθ si n≥1.
2. En d´eduire, pour tout z ∈D(0, r), l’identit´e f(z) =f(0) + 1
2π
" 2π 0
u(reiθ) 2z reiθ −zdθ, puis, ´etant donn´eA∈C , l’identit´e :
f(z) =f(0) + 1 2π
" 2π 0
(u(reiθ)−A) 2z reiθ −z dθ.
3. On suppose maintenant A= max|z|=ru(z). D´emontrer l’in´egalit´e : z ∈D(0, r), |f(z)| ≤ |f(0)|+ (A−u(0)) 2|z|
r− |z|. 4. Soit f une fonction enti`ere. Montrer que, pour toutr >0, on a :
max|z|=r |f(z)| ≤3|f(0)|+ 2 max
|z|=2r Ref(z).
Exercice 2
Soit f une fonction enti`ere, c’est-`a-dire holomorphe sur C .
1. Dans cette question, on suppose qu’il existen∈IN etC >0 tels que :
∀z ∈C, |f(z)| ≤C(1 +|z|n).
Montrer que f est un polynˆome de degr´e≤n.
2. Dans cette question, on suppose qu’il existen∈IN etC >0 tels que :
∀z ∈C, Ref(z)≤C(1 +|z|n).
D´eduire de l’Exercice 1, Question 4, quef est un polynˆome de degr´e≤n.
1
2
3. On suppose maintenant qu’il existe n ∈IN et C >0 tels que :
∀z ∈C, |f(z)| ≤exp (C(1 +|z|n)).
On suppose de plus que f ne s’annule pas. Montrer que la fonctionf est de la forme f(z) = eP(z), o`u P est un polynˆome de degr´e≤n.
Exercice 3
1. D´eterminer les pˆoles et les r´esidus de la fonction m´eromorphe sur C cotgπz = cosπz
sinπz. On note
(1) cotgπz =
!+∞
n=−1
anzn
son d´eveloppement de Laurent en 0. Calculer a1 et a3. 2. V´erifier, pour z=x+iy∈C , l’identit´e :
|cotgπz|2 = cos2πx+ sinh2πy sin2πx+ sinh2πy. En d´eduire qu’il existe M >0 tel que :
∀z ∈C, d(z,ZZ) ≥1/2 ⇒ |cotgπz| ≤M.
3. Pour tout n≥1, on note ∂Kn le bord du carr´e
Kn ={z =x+iy∈C, |x| ≤n+ 1/2, |y| ≤n+ 1/2}, orient´e dans le sens direct.
Etant donn´e un entier´ p∈IN, calculer, pour toutn ≥1, l’int´egrale 1
2iπ
"
∂Kn
z−2pcotgπz dz par la formule des r´esidus.
4. On suppose de plusp≥1. Exprimer la somme de la s´erie#+∞ k=11/k2p en fonction des coefficients an de (1).
Exercice 4
On consid`ere deux suites (an)n∈IN et (bn)n∈IN de nombres r´eels telles que : 0< a0 < b0 < a1 < b1 <· · ·< an < bn< an+1 <· · ·
et que an −−−−→n
→+∞ +∞. ´Etudier le produit infini f(z) =
+∞
$
n=0
1−z/an
1−z/bn
.
Montrer qu’il d´efinit une fonction m´eromorphe sur C , de z´eros les points an et de pˆoles les points bn.
3
