UNIVERSIT´E PARIS 6 LM366. 2005-2006 FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE
Partiel du 9 Juin 2006 Dur´ee : 2 heures 30
Les documents ne sont pas autoris´es. Les exercices sont ind´ependants.
Exercice 1
Soit f une fonction enti`ere, c’est-`a-dire holomorphe sur C .
1. Rappeler une d´emonstration du th´eor`eme de Liouville : sifest born´ee, f est constante.
2. Dans cette question, on suppose que l’image f(C ) de f n’est pas dense dans C .
Montrer que f est constante.
3. Dans cette question, on suppose quef ne prend pas de valeur r´eelle : f(C )⊂C \IR.
Montrer quef est constante. (On pourra consid´erer le signe de Imf(z).) 4. Dans cette question, on suppose quef ne prend pas de valeur r´eelle positive : f(C ) ⊂C \[0,+∞[.
Montrer qu’il existe une fonction enti`ere g telle que f = eg. Montrer que f est constante.
Exercice 2
Soit f : IR→C une fonction continue. On suppose qu’il existe C >0 tel que f v´erifie la majoration suivante :
∀x∈IR, |f(x)| ≤C(1 +|x|)−1. On pose :
(1) F(z) = 1
2iπ
! +∞
−∞
f(t) t−zdt.
1. Montrer que (1) d´efinit une fonction holomorphe sur C \IR.
2. V´erifier que, pour tout " >0 et tout x∈IR, F(x+i")−F(x−i") = "
π
! +∞
−∞
f(t)
(t−x)2+"2 dt.
3. Montrer que
F(x+i")−F(x−i")−−−→
!→0+ f(x)
pour tout x ∈ IR. (On pourra effectuer le changement de variable t = x+"s dans l’int´egrale pr´ec´edente.)
4. En d´eduire que f est la limite simple d’une suite de fonctions analy- tiques sur IR.
1
2
Exercice 3 Soit Ω l’ouvert de C d´efini par
Ω ={x+iy, |y|<1, x > 0}.
On note Ω son adh´erence dans C et ∂Ω = Ω\Ω sa fronti`ere.
Soit f : Ω → C une fonction continue sur Ω et holomorphe sur Ω. On suppose :
(2) ∀z ∈∂Ω, |f(z)| ≤1,
et qu’il existe des constantes C >0 et a∈]0, π/2[ telles que
(3) ∀z=x+iy∈Ω, |f(z)| ≤Cexp(eax).
1. Soit b un nombre r´eel tel que a < b < π/2. Le nombre b ´etant fix´e, on consid`ere pour tout " >0 la fonction auxiliaire
f!(z) =f(z) exp(−"ebz).
Montrer que, pour tout " >0 fix´e, f!(x+iy)−−−−→x
→+∞ 0, uniform´ement en y∈[−1,1].
2. En consid´erant un rectangle convenable, dont on fera tendre un des cˆot´es vers l’infini, en d´eduire que |f!(z)| ≤1 pour tout z ∈Ω.
3. Montrer enfin que |f(z)| ≤ 1 pour tout z ∈ Ω. Donner un exemple simple qui montre que le r´esultat devient faux pour a=π/2.
Exercice 4 Soit f etg deux fonctions enti`eres telles que :
∀z ∈C, |f(z)| ≤|g(z)|. Montrer qu’il existe une constante ctelle que f =cg.
