Universit´e Paris 6 2007-2008
LM 345 1`ere session
Examen du 17 D´ecembre 2007 Dur´ee 2h
Dans tout l’ ´enonc´e on ´ecrit v.a. pour variable al´eatoire.
Question de Cours.
1) Enonce le Th´eor`eme Central Limite.
2) Donner la d´efinition de la fonction g´en´eratrice d’ une v.a. `a valeurs dans N.
Exercice 1. (Yk)k≥1 d´esigne une suite de v.a. ind´ependantes telles que pour tout k ≥ 1, Yk ∈ L2(Ω) et E(Yk) = 0. On suppose ´egalement que E(Yk2) ≤ 1 pour tout k ≥ 1. On d´efinitSn := Σnk=1k1Yk. Montrer qu’ il existe une constante C >0 telle que
∀n≥1 E(Sn2)≤C
Exercice 2. Soit A ={(x, y)∈R2;y > x}.
1) Soit X et Y deux v.a. ind´ependantes. X suit la loi uniforme sur [0,1] et Y la loi de densit´eϕ(y) = (1−eλe−λy−λ)1[0,1](y) o`u λ >0 est donn´e. Calculer P((X, Y)∈/A).
2) (Xk) et (Yk) d´esignent deux suites ind´ependantes de v.a. ind´ependantes. Pour tout k≥1, Xk suit la loi uniforme sur [0,1] et Yk admet la densit´eϕ. SoitT d´efini pourω ∈Ω par
T(ω) = inf{k≥1; (Xk(ω), Yk(ω))∈A}
siωest tel que cet ensemble est non vide; lorsque cet ensemble est vide on poseT(ω) = +∞.
On admet que T est une v.a. ( `a valeurs dans R∪ {+∞}).
a) CalculerP(T > n) pour tout n >0.
b) Montrer que P(T = +∞) = 0.
b) Quelle est la loi de T ? Indication: on pourra d´eduire de a) l’expression de P(T = n) pour tout n≥1.
3) Soit ω ∈ Ω. Lorsque T(ω) = n avec n ∈ N∗, on pose X(ω) = Xn(ω); lorsque T(ω) = +∞, on pose X(ω) = 1. On admet que X ainsi d´efinie est une v.a. D´eterminer la loi de X.
Exercice 3. 1) Soit (Xi)i≥1 est une suite de va de mˆeme loi, int´egrables et ind´ependantes.
Pour n ≥ 1 on pose Sn = Σni=1Xi et Zn = Sn−nE(Xσ√n 1). Soit ϕ la fonction d´efinie sur R par ϕ(x) = 1+|x||x| . Montrer que la suite E(ϕ(Zn)) converge quand n tend vers +∞ vers E(ϕ(Z)) o`u Z est une va dont on precisera la loi.
2) a) Soit U une va `a valeurs dans [0,1]. Montrer que E(U) =R1
0 P(U ≥t)dt. On pourra remarquer queU =R1
0 1{U≥t}dt.
1
b) Montrer que E(ϕ(Zn)) = R+∞
0 P(Zn ≥ s)(1+s)1 2ds. Indication: on pourra effectuer un changement de variable.
3) Question facultative: A l’aide de la question 2) b) retrouver le r´esultat de la question 1).
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