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Topologie de la droite r´ eelle

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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L3B – Topologie 2020-2021

Feuille d’exercices 3 :

Topologie de la droite r´ eelle

Exercice 1 : On consid`ere l’ensembleN comme sous-ensemble de R. 1. Montrer queN n’est pas un ouvert de R.

2. Montrer que chaque singleton {n} avec n ∈ N est un ferm´e. Peut-on d´eduire de l’´ecritureN=∪n∈N{n} queN est un ferm´e de R?

3. Montrer queN est un ferm´e de R `a l’aide de la caract´erisation s´equentielle.

4. Montrer que ]− ∞,0[∪ ∪n∈N]n, n+ 1[

est un ouvert de R. En d´eduire une autre preuve que N est un ferm´e de R.

5. Pour les ensemblesZ∪]0,1[ et Q∩]0,1[, dire s’ils sont ouverts ou ferm´es dans Ret donner leur int´erieur et leur adh´erence.

Exercice 2 : Soient A et B deux parties deR.

! I

1. Montrer que, si A⊂B, alors ˚A⊂B˚etA ⊂B.

2. Comparer˚

A etA;A˚˚et ˚A

3. Pour chacune des paires d’ensembles suivantes, dire quelles inclusions sont vraies ou fausses, et le justifier.

(a) ˚A∪B˚et z }| {˚

A∪B (b) ˚A∩B˚et z }| {˚

A∩B (c)A∪B et A∪B (d)A∩B etA∩B

Exercice 3 : L’adh´erence des valeurs d’une suite 1

Soit (un)n∈N une suite r´eelle, on note U = {un, n ∈ N} l’ensemble de ses valeurs. On suppose que (un) converge vers `∈R. D´eterminer l’adh´erence U deU.

Exercice 4 : L’adh´erence des valeurs d’une suite 2 F

Soit (un)n∈N une suite r´eelle, on note U ={un, n∈N} l’ensemble de ses valeurs.

1. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adh´erence A de la suite (un) est ferm´e.

2. On pose pour tout n ∈ N Un = {uk, k ≥ n}. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adh´erences de la suite (un) est exactement A = T

n∈NUn. En d´eduire une autre d´emonstration du fait qu’il est ferm´e.

3. Montrer que pour toute suite (un),U =A∪U.

Exercice 5 : Cas de la borne sup´erieure Soit A une partie non vide major´ee de R.

1. Montrer que supA est l’unique r´eel qui soit `a la fois un majorant de A et un point adh´erent `a A.

2. Montrer que siA n’admet pas de plus grand ´el´ement, supA est un point d’accumu- lation de A.

Exercice 6 : Si f est une fonction continue, on pose

A={x∈R:f(x)>0} et B ={x∈R:f(x)≥0}.

Montrer que A⊂B et A⊂B˚mais qu’il n’y a pas ´egalit´e en g´en´eral.

(2)

Exercice 7 : Points isol´es

Soit S une partie de R. On dit que p∈S est un point isol´e de S s’il existe ε > 0 tel que ]p−ε, p+ε[∩S ={p}. On note Isol(S) l’ensemble des points isol´es de S.

On dit que p est un point d’accumulation deS si (]p−ε, p[∪]p, p+ε[)∩S6=∅ pour tout ε >0. On note Acc(S) l’ensemble des points d’accumulation de S.

1. Donner un exemple d’ensemble S avec un point isol´e, un point d’accumulation qui appartient `aS, et un point d’accumulation qui n’appartient pas `a S.

2. Montrer que Isol(S)∪Acc(S) =S et que Isol(S)∩Acc(S) =∅.

3. Montrer que Acc(S) est un ferm´e de R. Donner un exemple o`u Isol(S) n’est pas ferm´e.

4. Montrer que, si x∈Isol S

, x∈S.

5. Montrer qu’un ensemble compact dont tous les points sont isol´es est fini.

6. Si A est ferm´e et x est isol´e dansA, alors A\ {x} est ferm´e.

Exercice 8 : Exprimer les parties suivantes de R `a partir d’images r´eciproques de sous- ensembles plus simples. D´eterminer si elles sont ouvertes, ferm´ees. . .

A={x∈R| cosx≤0} B ={x∈R| |x2−1|> ex} C ={x∈R| chx≥3 ou chx= 2}

D={x∈R| sinx >1/3 et cosx <1/5} E ={x∈R|cosx6=e−x}

Exercice 9 : Distance `a un ensemble

Soit A une partie non vide de R. Pour tout r´eel x on d´efinit la distance de x `a A par dA(x) = inf{|x−a|, a ∈A}.

1. Expliciter dA dans les cas : A=]0,1],A = [0,1],A=Q.

2. Montrer quedA est 1-lipschitzienne sur Ret en d´eduire qu’elle est continue.

! I

3. Montrer quedA(x) = 0 si et seulement si x∈A.

Exercice 10 : Distance entre deux ensembles

Soient A et B deux parties non vides de R. On d´efinit la distance entre A et B par d(A, B) = inf{|a−b|, a∈A, b∈B}.

1. Montrer que si A est ferm´e et B est compact, alors d(A, B) = 0 si et seulement si A∩B 6=∅.

2. Donner un exemple de ferm´esA et B tels que d(A, B) = 0 et A∩B =∅.

F

Exercice 11 : Ensemble de Cantor F

On pose I0 = [0,1] et, pour tout k ∈ N, Ik+1 = 13Ik13Ik+23

. L’ensemble triadique de Cantor est d´efini comme K= \

k∈N

In. 1. Montrer queK est un compact deR.

2. Calculer la somme des longueurs des intervalles constituant Ik et en d´eduire que K est d’int´erieur vide.

3. Montrer qu’aucun point deK n’est isol´e.

4. Montrer queK est ´equipotent `aR.

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