(c) Montrer que chaque hyperplan r´eelle L dans C2 contienne une droie complexe

Universit´e de Lille M2R 2017-2018

Fonctions analytiques de plusieurs variables complexes

— Fiche - 4

Exercice 1

(a) Soit M un sousespace r´eel de dimension deux dans C². Montrer que M est un sousespace complexe de C² si et seulement si il existe une forme C-lineairel:C² →Ctelle que M ={z∈C²:l(z) = 0}.

On appelle un ensemble affine de la formeM+a, ouM est un sousespace complexe deC² eta∈C², une droite complexe.

(b)Montrer que deux droites complexes distinctes deC²ne peuvent poss´eder qu’un point commune au plus.

(c) Montrer que chaque hyperplan r´eelle L dans C² contienne une droie complexe. Ensuite prouver que par chaque point m ∈L passe une eunique droite complexel⊂L.

Exercice 2Soit f(z, w) holomorphe dans un voisignage de z´ero deC². (a) Montrer qu’il existe l ≥0 tel que la fonction g(z, w) = ^f(z,w)_zl est holo- morphe dans un voisigmage de z´ero etg(0, w)̸≡0.

(b)Montrer qu’il existektel quef(z, w) =z^l·[w^k+c₁(z)w^k−1+...+c_k(z)]· ϕ(z, w), ouϕest holomoprhe dans un voisignage de z´ero etϕ(0)̸= 0.

Exercise 3

Soitf une fonction holomorphe dans le polydiasque unit´e ∆ⁿ= ∆ⁿ⁻¹×∆, n≥2. Supposons que ∀z^′ ∈∆ⁿ⁻¹ la fonction d’une variablef(z^′,·) poss`ede un sole z´erozn=g(z^′). Motrer que la fonctiongest holomorphe dans ∆ⁿ⁻¹. Exercice 4

(a) Soit f une fonction holomorphe dans C² telle que f|_R² ≡ 0. Montrer quef ≡0.

(b)Soit M ={(z, w)∈C²:w= ¯z}et soitf une fonction holomorphe dans C² telle que f|M ≡0. Montrer que f ≡0.

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Exercice 5

Notons parz=x+iy etw=u+ivles coordonn´ees dans C².

(a) Soitf(z, w) une fonction holomorphe dansC² telle quef(x, w)≡0.

Montrer quef ≡0.

(b) Soit γ ={(x, y) ∈ R² : u = sin¹_x} et soit f une fonction holomorphe dansC² telle que f|γ≡0. Montrer que f ≡0.

Exercice 6

( a)SoientD⊂Cⁿun domain etf une fonction holomorphe dansD. Mon- trer que la fonction suivanteu(z) = log|f(z)|est plurisousharmonique dans D.

(b) Soientf1, ..., fk fonctions holomorphe dans un domaine D⊂Cⁿ. Mon- trer que la fonction suivante u(z) = log (|f₁(z)|²+...+|f_k(z)|²) est pluri- sousharmonique dansD.

Exercice 7

(a) Soit T² = {(z1, z2) ∈ C²||z1|= |z2| = 1} le torus dans C². Trouver sa enveloppe d’holomorphie ˆT_C²2.

(b) Comme dans exercise 5 notons par z =x+iy et w =u+iv les coor- donn´ees dans C², et soit R³ ⊂C² le sousespace avec le coordonn´ees (z, u).

SoitS la sph`ere unit´ee dans R³. Trouver sa enveloppe d’holomorphie ˆS³_C².

Exercice 8

(a) Soit l ⊂ C² une droite r´eelle. Prouver qu’il existe une application C- lineaire non-d´eg´ener´ee A :C² → C² telle que A(l) = R, o`u R= {(z, w) ∈ C²|y= 0, w= 0}.

(b) Soit l ⊂ C² une droite r´eelle et soit f une fonction holomorphe dans C²\l. Prouver que f se prolonge holomorphiquement surC².

(c) Soit l ⊂ C² une droite r´eelle et soit f une fonction m´eromorphe dans C²\l. Prouver que f se prolonge m´eromorphiquement sur C².

Exercice 9

Soit D ⊂ Cⁿ un domain born´e et F : D → D une application holo- morphe. Supposons que 0∈D,F(0) = 0 et que d₀F =id, i.e. la d´eriv´ee de F en z´ero est identit´ee.

a) Montrer q’alorsF(z) =z+∑_∞

s=2F_s(z) ouF_s sont des polynˆomes homo- genes d’ordres≥2.

Soit m= inf{s:F_s̸≡0}.

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(b) Posons

F^k =F| {z }◦...◦F

k

Montrer queF^k(z) =z+kFm(z)+∑

s≥m+1Gs(z) ouGssont des polynˆomes homogenes d’ordres.

(c) Soit r >0 tel que Br(0)⊂D. Montrer que∀z,||z||< r et∀kon ait kF_m(z) = 1

2π

∫ _2π

0

F^k(e^iθ)e^−imθdθ.

En d´eduire queF_m≡0.

(d) En d´eduire le Th´eor`eme de Cartan suivant : Soit D ⊂ Cⁿ un domain born´e et F :D→ D une application holomorphe. Supposons q’il existe un pointp∈Dtel queF(p) =p et quedpF =id. AlorsF(z)≡z.

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