Fonctions d’une variable r´eelle

Chapitre 8

Fonctions d’une variable r´ eelle

8.1 Fonctions affines, fonction carr´ e, inverse, racine

Premi`ere ann´ee

8.2 Fonctions polynˆ omes de degr´ e 2

Premi`ere ann´ee : r´esolution d’´equations, d’in´equations du second degr´e.

Fiche de r´esultats `a connaˆıtre sur le second degr´e :pdf

8.3 D´ erivation

8.3.1 Tangente `a la courbe d’une fonction 8.3.2 D´efinition du nombre d´eriv´e

D´efinition 14. Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I contenantx₀. Si

hlim→0

f(x0+h)−f(x0) h

existe, on dit quef est d´erivable enx0. La limite est alors appel´ee le nombre d´eriv´e def en x₀. Ce nombre d´eriv´e est not´ef^�(x₀) :

f^�(x0) = lim

h→0

f(x₀ +h)−f(x₀) h

Figure8.1 – Nombre d´eriv´e

f^�(x₀) est le coefficient directeur de la tangente `a la courbe repr´esentative de f au point de coordonn´ees (x0;f(x0)).

80

y

x0 x f(x0)

1 Cf

f^�(x0)

L’´equation r´eduite de cette tangente est donc: y =f^�(x0)(x−x0) +f(x0)

8.3.3 Fonction d´eriv´ee

Les formules des tableaux (page 83) donnent les nombres d´eriv´es pour toutes les fonc- tions construites `a partir des fonctions usuelles.

8.3.4 Signe de la d´eriv´ee et sens de variation

Th´eor`eme 2 (Le th´eor`eme fondamental). f est une fonction d´efinie et d´erivable sur un intervalle I.

Sif^� est positive sur I, alorsf est croissante sur I.

Sif^� est n´egative sur I, alorsf est d´ecroissante sur I.

Sif^� est strictement positive sur I, alorsf est strictement croissante sur I.

Sif^� est strictement n´egative sur I, alorsf est strictement d´ecroissante sur I.

Ce th´eor`eme est admis. Il faut comprendre ceci : sif<sup>�</sup> >0 sur I, alors tous les coefficients directeurs des tangentes `a la courbe def sont positifs : toutes les tangentes ”montent”, doncf est croissante. La r´eciproque de ce th´eor`eme existe et est admise ´egalement.

Application : pour ´etudier les variations d’une fonction f :

— on calcule sa fonction d´eriv´ee f^�

— on ´etudie le signe de f^�(x).

— on en d´eduit les variations de f `a l’aide du th´eor`eme ci-dessus

— on r´esume tout dans un tableau de variations

Exemple et int´erˆet

Etudions, sur l’intervalle [0; 7], la fonction polynˆome´ f de degr´e 3 d´efinie par f(x) =x³−11x²+ 39x−20

Un trac´e rapide sur l’´ecran de la calculatrice pourrait nous induire en erreur : Il semble que la fonction soit croissante sur [0; 7]. Mais non !

• Calcul de la d´eriv´ee f^� :f^�(x) =

• Signe de f^�(x)

CHAPITRE 8. FONCTIONS D’UNE VARIABLE R ´EELLE 82

Figure8.2 – sur une TI-83Plus.fr

• Tableau de variations : on indique d’abord le signe de f^�(x) puis les fl`eches indiquant les variations de f.

x 0 3 ¹³₃ 7

f^�(x) + 0 − 0 + f −20�25

�m�57 m�23,8

• Courbe repr´esentative de f

10

13

3 3 7

O 1

Signes connus

On sait ´etudier le signe

— d’une fonction affine

— d’un polynˆome de degr´e deux

— de quelques expressions : d’un carr´e, d’une racine carr´ee, d’une somme de nombres positifs

— d’un produit de facteurs, `a l’aide parfois d’un tableau de signes.

Fonction D´eriv´ee

f(x) =k f^�(x) = 0 k∈R; x∈R

f(x) =x f^�(x) = 1 x∈R

f(x) =xⁿ f^�(x) =nxⁿ⁻¹ n∈Z^∗ ; x∈Rou R^∗ si n�−1 f(x) = 1

x f^�(x) =− 1

x² x∈R^∗

f(x) =√

x f^�(x) = 1

2√

x x∈ ]0; +∞[

f(x) = ln(x) f^�(x) = 1

x x∈ ]0; +∞[

f(x) = e^x f^�(x) = e^x x∈R

Op´ erations

Fonction D´eriv´ee

f =U +V f^� =U^�+V^�

f =kU f^� =kU^� k∈R

f =U V f^� =U V^�+U^�V f = U

V f^� = V U^�−U V^�

V² V(x)�= 0

f = 1

V f^� = −V^�

V² V(x)�= 0

f =Uⁿ f^� =nU^�Uⁿ⁻¹ n∈N^∗

f =√

U f^� = U^�

2√

U U(x)>0

f = ln(U) f^� = U^�

U U(x)>0

f = exp(U) = e^U f^� =U^�exp(U) =U^�e^U f(x) =V ◦U(x) f^�(x) =U^�(x)×V^�(U(x))

CHAPITRE 8. FONCTIONS D’UNE VARIABLE R ´EELLE 84 Exercice 8.1. La fonction f d´efinie sur R par f(x) = (x² −x + 1)³ semble avoir un minimum voisin de 0,5. Valider ou pas cette conjecture.

Exercice 8.2. Soit f la fonction d´efinie sur ]−1; +∞[ par : f(x) =√

x+ 1. On note C la courbe repr´esentative de la fonctionf dans un rep`ere du plan. On consid`ere les points A(2; 2) et B(20; 5). La droite (AB) est-elle tangente `a la courbeC ?

Exercice 8.3. Pour la construction d’une piscine priv´ee, un architecte a imagin´e la forme de lafigure ci-dessous (vue de dessus de la piscine), o`u (O;�i,�j) est un rep`ere orthonormal d’unit´e graphique 1 cm. Le p´erim`etre de cette piscine est constitu´e de deux demi-cercles : un de centre O et de rayon 3, et un de centre O^� et de rayon 4, reli´es par deux courbesC etC^�. L’axe des abscisses est un axe de sym´etrie de la figure.

La courbe C reliant les points A et D est la courbe repr´esentative d’une fonction f d´efinie pour tout r´eelx de l’intervalle [0 ; 8].

1

8 O 1

C

C^� A

B

C D

O’ E

1. (a) En remarquant que la courbe C passe par le point A d’abscisse 0, le point D d’abscisse 8, et qu’en ces points elle admet une tangente horizontale, d´eterminer les valeurs de f(0), f(8), f^�(0) etf^�(8).

(b) On suppose qu’il existe quatre nombres r´eelsa, b, cetdtels que pour tout r´eel x de l’intervalle [0 ; 8],f(x) =ax³+bx²+cx+d.

D´eterminer l’expression def^�(x) en fonction dea, b, c, d etx.

(c) D´eduire des questions pr´ec´edentes que c = 0 et d = 3 et que les r´eels a et b v´erifient le syst`eme :

� 512a+ 64b = 1

192a+ 16b = 0 et r´esoudre ce syst`eme pr´ec´edent.

2. Par la suite, on admet que pour tout r´eel x de l’intervalle [0 ; 8], f(x) =− 1 256x³+ 3

64x²+ 3 et que f est strictement positive sur [0 ; 8].

Le bord sup´erieur de la piscine est donn´e par la fonction g d´efinie sur [−3; 12] par





g(x) =√

9−x² pourx∈[−3; 0]

g(x) =f(x) pour x∈[0; 8]

g(x) =√

−x²+ 16x−48 pour x∈[8; 12]

V´erifier que le bord de la piscine ne pr´esente pas d’angles dangereux.

3. Donner une valeur approch´ee de l’aire de la piscine, en m², sachant que la figure est une repr´esentation `a l’´echelle 1/100 de la r´ealit´e (ou une valeur exacte pour ceux qui connaissent le calcul int´egral).

4. La profondeur d’eau de cette piscine est constante, ´egale `a 1,60 m. Calculer, en m³, la valeur exacte du volume d’eau contenue dans cette piscine. Donner ´egalement la valeur arrondie au m³ de ce volume.

Exercice 8.4. Etudier les variations des fonctions suivantes (calculer la fonction d´eriv´ee,´

´etudier son signe, dresser le tableau des variations).

• f :x�→f(x) =x³−4x²−7x+ 1 sur [−10 ; 10]

• g:x�→g(x) = 2x

1−x sur [−10 ; 1[ ∪]1 ; 10]

• h:x�→h(x) = 7x−3√

x sur [0 ; 50]

• p telle que p^�(x) = 2x(3−2x) surR

D´eterminer une ´equation de la tangente `a Cf en x= 2.