Examen de Fonctions d’une variable r´eelle

L1 MIPI

10 Janvier 2017

Examen de Fonctions d’une variable r´eelle

Dur´ee: 2h30. Aucun document ni calculatrice autoris´e.

Les t´el´ephones portables sont INTERDITS et doivent ˆetre ETEINTS.

Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme faux.

Questions de cours (3pts).

a)Soitf :R→Reta∈R. Donner la d´efinition (avec les quantificateurs!) delim

x→af(x) = +∞.

b)Enoncer le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.

c)Enoncer le th´eor`eme des accroissements finis.

Exercice 1(6pts).

a) i)Rappeler (sans justification) les valeurs des limites suivantes : lim

x→0

e^x−1

x et lim

x→0

ln(1 +x)

x .

ii)Calculer, si elles existent, les limiteslim

x→0

ln(1 + 3x)

x et lim

x→0

ln(1 + 3x) e^x−1 . b) i)A l’aide du th´eor`eme des gendarmes d´eterminer lim

x→+∞

cos(x) x . ii)Calculer, si elle existe, la limite lim

x→+∞

x+ cos(x) x+ 2 .

c)Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf d´efinie surRparf(x) = sin x²+ sin(x) .

Exercice 2(4pts).

a)Rappeler les d´eveloppements limit´es en0`a l’ordre3des fonctionse^x etcos(x).

b)D´eterminer un d´eveloppement limit´e en0`a l’ordre3de la fonctione^xcos(x).

c)Calculer, si elle existe, la limitelim

x→0

e^xcos(x)−1−x

x³ .

Exercice 3(3pts). On consid`ere la proposition (P) suivante:

∀ε >0, ∃η >0, ∀x∈R^∗+, |x|< η =⇒ |xln(x)−1|< ε.

a)Traduire la proposition (P) en termes de limite? Est-elle vraie ou fausse?

b)Ecrire la n´egation de la proposition (P).

TSVP

Exercice 4 (4pts). Soit f : [a, b] → R une fonction d´erivable. Pour simplifier les notations on supposera quef⁰(a) ≤ f⁰(b). Soit k ∈ Rtel que f⁰(a) ≤ k ≤ f⁰(b). Le but de l’exercice est de montrer qu’il existec∈[a, b]tel quek=f⁰(c).

On d´efinit la fonction g sur]a, b]par g(x) = f(x)−f(a)

x−a et la fonction hsur [a, b[ parh(x) = f(x)−f(b)

x−b .

a)Justifier que les fonctionsgethsont continues sur leur ensemble de d´efinition.

b) Montrer que la fonction g est prolongeable par continuit´e au point a et que la fonction h est prolongeable par continuit´e au pointb. On pr´ecisera dans les deux cas la valeur du prolongement par continuit´e.

Par la suite on notera toujoursgethles fonctions ainsi prolong´ees et d´efinies sur[a, b].

c)On suppose quek ≤ f(b)−f(a) b−a .

i)Montrer qu’il existed∈[a, b]tel quek=g(d).

ii)En d´eduire qu’il existec∈[a, b]tel quef⁰(c) =k.

d)On suppose maintenant quek≥ f(b)−f(a) b−a . i)Montrer qu’il existed∈[a, b]tel quek=h(d).

ii)En d´eduire qu’il existec∈[a, b]tel quef⁰(c) =k.

N.B. Cet exercice montre que la fonction f⁰ v´erifie la conclusion du th´eor`eme des valeurs in- term´ediaires mˆeme sans supposer que f<sup>0</sup> est continue. Ce r´esultat porte le nom de Th´eor`eme de Darboux.