Examen de Fonctions d’une variable r´eelle

L1 MIPI

18 Janvier 2019

Examen de Fonctions d’une variable r´eelle

Dur´ee: 2h30. Aucun document ni calculatrice autoris´e.

Les t´el´ephones portables sont INTERDITS et doivent ˆetre ETEINTS.

Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme faux.

Le total des points est sur 30 (le barˆeme de chaque exercice est donn´e `a titre indicatif).

Note finale: les 10 premiers points comptent en totalit´e, les suivants pour moiti´e.

Par exemple, pour un total de 16 sur 30, la note sera10 + 6/2 = 13sur 20.

Exercice 1(Questions de cours, 5pts).

a)Soitf :R→Ret`∈R. Donner la d´efinition, avec les quantificateurs, de lim

x→−∞f(x) =`.

b)Enoncer le th´eor`eme des accroissements finis.

c)SoientE, F deux ensembles,f :E →F une application etA, B ⊂E.

i)Rappeler la d´efinition de l’ensemblef(A).

ii)Montrer quef(A∩B)⊂f(A)∩f(B).

iii)Donner un exemple dans lequel l’inclusion est stricte, c’est-`a-dire un exemple dans lequel f(A∩B)⊂f(A)∩f(B)maisf(A∩B)6=f(A)∩f(B).

Exercice 2(5pts).

a)Rappeler, sans justification, les limites suivantes: lim

x→0

sin(x)

x et lim

x→0

e^x−1 x . b)Calculer, si elle existe, la limitelim

x→0

e^5x−1 3x . c)Calculer, si elle existe, la limitelim

x→0

e^{2 sin(3x)}−1

x .

d)Calculer la d´eriv´ee de la fonction d´efinie surRparf(x) = e^{2 sin(3x)}.

Exercice 3(7pts). Soitf la fonction d´efinie surD= ]−1,0[∪]0,+∞[parf(x) = ln(1 +x)

x .

a)Justifier rapidement quef est d´erivable surDet calculer sa d´eriv´ee.

b)Montrer que la fonctionfest prolongeable par continuit´e en0et pr´eciser la valeur du prolonge- ment en0. On notera toujoursf la fonction ainsi prolong´ee et d´efinie sur]−1,+∞[.

c) i)Rappeler, sans justification, le d´eveloppement limit´e `a l’ordre3de la fonctionln(1 +x).

ii)Montrer quef est d´erivable en0et d´eterminerf⁰(0).

iii)Montrer que la fonctionf est de classeC¹sur sur]−1,+∞[.

iv)Montrer quef est deux fois d´erivable en0et d´eterminerf⁰⁰(0).

TSVP

Exercice 4(6pts). Soitf la fonction d´efinie surRparf(x) = e^4x e^3x+ 1.

a)Justifier quef est d´erivable surR, calculerf⁰ et en d´eduire quef est strictement croissante.

b)La fonctionf admet-elle un minimum? Un maximum? Justifiez votre r´eponse.

c) D´eterminer les limites lim

x→+∞f(x) et lim

x→−∞f(x), puis en d´eduire quel est l’ensemble f(R).

Justifiez votre r´eponse.

d)Justifier quef est bijective de Rsur un ensemble que l’on pr´ecisera. On notef⁻¹ la fonction r´eciproque def. Quel est l’ensemble de d´efinition def⁻¹?

e)Justifier quef⁻¹est d´erivable en 1

2 et calculer(f⁻¹)⁰

1

2

. Indication:f(0) = 1 2.

Exercice 5 (7pts). Soient f, g : [0,1] → R deux fonctions continues. On suppose que f et g v´erifie l’hypoth`ese (H) suivante:

∀x∈[0,1], ∃y∈[0,1], g(y) =f(x).

a) i)Comparerf [0,1]

etg [0,1]

.

ii) Repr´esenter, sur un mˆeme graphe, deux fonctionsf et g v´erifiant l’hypoth`ese (H) et telles quef(0) = 0,f(1) = 1etg(0) =g(1) = 2.

b) i)Justifier qu’il existea, b∈[0,1]tels que pour toutx∈[0,1]on aitg(a)≤g(x)≤g(b).

ii)Montrer queg(a)≤f(a)et queg(b)≥f(b).

iii)En d´eduire qu’il existex∈[0,1]tel quef(x) = g(x).