L1 MIPI 13 Juin 2017
Examen de Fonctions d’une variable r´eelle. Seconde session.
Dur´ee: 1h30. Aucun document ni calculatrice autoris´e.
Les t´el´ephones portables sont INTERDITS et doivent ˆetre ETEINTS.
Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme faux.
Exercice 1(6pts).
a)Soitx0 ∈Ret`∈R. Donner la d´efinition (avec les quantificateurs!) de lim
x→x0
f(x) = `.
b)Rappeler (sans justification) les valeurs des limites suivantes : lim
x→0
sin(x)
x et lim
x→0
ln(1 +x) x . c)Calculer, si elles existent, les limites : lim
x→0
sin(3x) x , lim
x→0
sin2(2x)
xln(1 +x) et lim
x→+∞xsin
1
2x
. d)Calculer, si elle existe, la limite : lim
x→0xsin
1
x
.
Exercice 2(8pts). On consid`ere la fonctionf d´efinie surR∗parf(x) = ex+ e−x−2
x .
a)Justifier quef est d´erivable surR∗ et calculer sa d´eriv´eef0.
b) Rappeler (sans justification) le d´eveloppement limit´e en 0 `a l’ordre 3 de la fonction ex. En d´eduire celui de la fonctione−x.
c)En utilisant les DL obtenus `a la question pr´ec´edente, justifier quef est prolongeable par con- tinuit´e en 0 et pr´eciser la valeur de son prolongement. On notera toujours f la fonction ainsi prolong´ee par continuit´e.
d) i)Sig : R → Retx0 ∈ R, rappeler la d´efinition de “g est d´erivable enx0” ainsi que celle du nombre d´eriv´eg0(x0).
ii)Montrer que la fonctionf est d´erivable en0et d´eterminerf0(0). Indication: on pourra utiliser les DL obtenus `a la questionb).
Exercice 3(6pts). SoientE, F, Gtrois ensembles etf :E →F,g :F →Gdeux applications.
a)Rappeler les d´efinitions de “f est injective”, de “f est surjective” et de “f est bijective”.
b)Rappeler la d´efinition de l’applicationg◦f.
c)Montrer que “(f etg sont injectives)⇒(g◦f est injective)”.
d)Montrer que “(f etg sont surjectives)⇒(g◦f est surjective)”.
e)Montrer que les r´eciproques des implications donn´ees aux questionsc)etd)sont fausses. Indica- tion: on pourra consid´erer les applicationsf : R→R∗d´efinie parf(x) = ex etg :R∗ →]0,+∞[
d´efinie parg(x) = 1 x2.
