Fonctions de la variable r´ eelle

Feuille d’exercices n^◦1

Fonctions de la variable r´ eelle

Exercice 1 : croissances compar´ees

Ordonner selon la relation de n´egligeabilit´e, en notantab pour indiquer quea =

+∞o(b) : lnx

x² , 1

xlnx, 1 x√

x, (lnx)² x³ , 1

x², e^−x2, e⁻

√x, e^−x, e^−2x.

Exercice 2 : ´equivalents simples

D´eterminer un ´equivalent simple et la limite de : 1. a) xln(e^x+ 1) en−∞; b) ln 1 +xtan_x¹2

en +∞; c) x^1x −1 en +∞; 2. a) (1−cos(x)) tan(x)

xsin²(3x) en 0 ; b) ln(cos(x)) en 0 ; c) ln(x²+x+ 1)arctan(x)

ln(x+ 1) en 0, +∞; 3. a) x^α−1 en 1 ; b) cos(x) en π

2; c) x^x−1 ln(1−√

x²−1) en 1⁺; d) sin(x)−cos(x) x−π/4 en π

4.

Exercice 3 : d´eveloppement asymptotique d’une suite implicite [correction]

Pour n∈N, on consid`ere l’´equation tan(x) =x d’inconnuex∈

nπ, nπ+^π₂ . 1. Montrer que cette ´equation admet une unique solution. On la notera xn. 2. Montrer que la suite (xn) est monotone et quexn ∼

n→+∞nπ.

3. Montrer quexn−nπ∼ π

2, puis quexn−nπ− π

2 ∼ − 1 nπ.

Exercice 4 : une suite implicite - d’apr`es oral II 2015 Soit f(x) = xln(x)

1 +x , consid´er´ee sur [1,+∞[.

1. Montrer que, pour tout n∈N, il existe un unique r´eel an≥1 tel quef(an) =n.

2. ´Etudier les variations de la suite (an). Montrer que (an) n’est pas born´ee.

3. Donner un ´equivalentbn de an, puis un ´equivalent de an−bn.

Exercice 5 : une ´equation fonctionnelle

f est une fonction continue surRtelle que ∀x∈R,f(x+ 1) =f(x) + 1.

La fonctiong est d´efinie parg(x) =f(x)−x.

1. Montrer queg est p´eriodique, born´ee et d´eterminer la limite de g(x)

x lorsquex→+∞.

2. En d´eduire la limite de f(x)

x puis celle de f(x) lorsque x→+∞.

Exercice 6 : un point fixe

Soit f :R−→Rune fonction continue et strictement d´ecroissante.

Montrer quef admet un unique point fixe (tel quef(x) =x).

Exercice 7 autour du th´eor`eme de Rolle - d’apr`es oral I 2017 1. Soit netm deux entiers naturels,f de classe Cⁿ.

Prouver que sif⁽ⁿ⁾akracines distinctes,k≤m, alorsf a au plusn+mracines distinctes.

2. Soit P un polynˆome de degr´e detα∈R^∗. Prouver que d

dx(P(x)e^αx) =R(x)e^αx, o`u R(x) est un polynˆome de degr´e `a pr´eciser.

3. Soitβ∈Rtel queβ6=α. Soitf(x) =P(x)e^αx+Q(x)e^βx, o`uP etQsont deux polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a d. Prouver que f a au plus 2d+ 1 racines.

Exercice 8 : approximation d’un point fixe [correction]

On d´efinit la suite (u_n)_n paru₀∈[0,1] et∀n∈N, u_n+1= e^un e^un+ 1. 1. Montrer que :∀n∈N, u_n∈[0,1].

2. Montrer qu’il existe un uniqueα∈Rtel que e^α

e^α+ 1 =α et qu’on a : α∈]0,1[.

3. Montrer que∀n∈N, |u_n+1−α| ≤ e

4|u_n−α|.

4. En d´eduire que∀n∈N, |u_n−α| ≤e 4

n

, puis que la suite (un) converge versα.

5. Trouver un entier naturel ptel queu_p est une valeur approch´ee de α `a 10<sup>−3</sup> pr`es.

Exercice 9 : s´erie harmonique Montrer que∀k∈N^∗, 1

k+ 1 ≤ln(k+ 1)−ln(k)≤ 1

k. En d´eduire un ´equivalent deS_n=

n

X

k=1

1 k.

Exercice 10 suite u_n+1 =f(u_n) - d’apr`es oral I 2015

Soit I =]0, a], a >0, et f une application v´erifiant f(I)⊂I et

∃A >0, ∃α >1, f(x) =

0 x−Ax^α+o(x^α) On d´efinit la suite (u_n) par u₀ =aet∀n∈N,u_n+1 =f(u_n).

1. Montrer que la suite (un) est bien d´efinie.

2. On admet que limu_n= 0. D´eterminer un ´equivalent deu^1−α_n+1−u^1−α_n . En d´eduire un ´equivalent deun.

3. Application : f(x) = sin(x).

Exercice 11 : convexit´e d’une fonction - d’apr`es ´ecrit C 2017 [correction]

Soit I un intervalle et x0 ∈I. On consid`ere une fonctionf :I 7−→Rd´erivable sur I et telle que f⁰ est strictement croissante surI.

1. Justifier, pour x∈I distinct dex₀, l’existence d’un r´eelctel que : f(x)−f(x0)

x−x₀ =f⁰(c).

2. Dans cette question, on suppose quex < x0. Montrer quef(x)−f(x0)−(x−x0)f⁰(x0)>0.

3. Dans cette question, on suppose quex > x₀. Montrer quef(x)−f(x₀)−(x−x₀)f⁰(x₀)>0.

4. Interpr´eter graphiquement les r´esultats pr´ec´edents.

Exercice 12 : quelques in´egalit´es Etablir les in´´ egalit´es suivantes :

1. ∀(a, b)∈R², |ab| ≤ a²+b²

2 ; (indication : signe de la diff´erence) 2. ∀x∈R+, x

1 +x² ≤arctan(x)≤x; (indication : T.A.F.) 3. ∀x∈i

−π 2,π

2 h

, |tan(x)| ≥ |x|; (indication : I.A.F.) 4. ∀x∈[0, π], x−x³

6 ≤sin(x)≤x−x³ 6 + x⁵

120. (indication : Taylor-reste int´egral)

Exercice 13 : sinus cardinal [correction]

Montrer que la fonction f :x7−→ sin(x)

x se prolonge en une fonction de classe C² surR.

Exercice 14 : d´eveloppement en s´erie enti`ere [correction]

1. Montrer quef :x7→ln(x+ 1)∈C^∞(]−1,+∞[), puis expliciterf^(k)(x) pour toutk∈N^∗. 2. En d´eduire que∀x∈[0,1],

n

X

k=1

(−1)^k−1

k x^k −→

n→+∞ln(1 +x). Application pourx= 1.

Exercice 15 : polynˆomes d’Hermite - d’apr`es ´ecrit C 2021 [correction]

1. Donner la solution f sur Rdu probl`eme de Cauchy (E) :y⁰+ 2xy = 0 ety(0) = 1.

2. D´eterminer la d´eriv´ee secondef⁰⁰ et la d´eriv´ee troisi`emef⁰⁰⁰ de f.

3. D´eterminer, apr`es avoir justifi´e leur existence, max

t∈[0,1]|f(t)|, max

t∈R

|f⁰(t)|et max

t∈[0,1]|f⁰(t)|.

4. (a) ´Enoncer le th´eor`eme des accroissements finis.

(b) Soit ε un r´eel strictement positif. Montrer qu’il existe un r´eel η strictement positif, que l’on explicitera, tel que :∀(x, y)∈[0,1]²:|x−y| ≤η =⇒ |f(x)−f(y)| ≤ε.

5. Montrer que, pour tout entier naturel n, la d´eriv´een-i`eme de f s’exprime `a l’aide de f et d’une fonction polynomiale Hn, dont on pr´ecisera la parit´e, et le degr´e. On d´esignera para(Hn) le coefficient dominant de Hn.

6. Donner, pour tout entier naturel n, une relation entre a(H_n) et a(H_n+1), puis exprimer a(H_n) en fonction de l’entier n.

Exercice 16 : d´eveloppements limit´es

Calculer les d´eveloppements limit´es suivants : 1. a) DL₃(0) de √⁴

x+ 1 ; b) DL₃(0) de xe^−x 2 +x;

2. a) DL₄(π) de ln(cos(2x)) ; b) DL₃(1) de sin(πx) ln(x) ; 3. a) DL₃(0) de ln(e^x+ e^−x) ; b) DL₂(0) de sin(x)

ln(1 +x);

Exercice 17 : d´eveloppement limit´e d’une r´eciproque - d’apr`es oral II 2013 Pour x∈R, on pose f(x) =x+x²−x³.

1. Trouver deux intervallesI etJ contenant 0 tels quef r´ealise une bijection deI surJ. 2. On poseg=f|I. Montrer queg⁻¹ admet un DL4(0), `a d´eterminer.

Exercice 18 : limites [correction]

1. Calculer : a) lim

n→+∞

1 +x

n n

; b) lim

x→0

cos(x)−√ 1−x²

x⁴ ;

e^x2+x−e^2x

1n²

Quelques corrections pour s’entrainer

Exercice 3 : d´eveloppement asymptotique d’une suite implicite [´enonc´e]

1. Soit n∈Nfix´e. Pourx∈

nπ, nπ+^π₂

, on poseg(x) = tan(x)−x.

g est d´efinie, d´erivable sur I_n =

nπ, nπ+^π₂

par les th´eor`emes g´en´eraux et ∀x ∈ I_n, g⁰(x) = tan²(x)>0. Donc g est continue et strictement croissante surI_n.

De plus, g(x) −→

x→nπ−nπ <0 etg(x) −→

x→nπ+^π

2

+∞.

Par le th´eor`eme de la bijection, g r´ealise une bijection de l’intervalle In sur l’intervalle g(I_n) =]−nπ,+∞[, qui contient 0.

Donc l’´equation g(x) = 0⇐⇒tan(x) =x admet une unique solution dansIn, not´eexn . 2. Soit n∈Nfix´e. On a : nπ < x_n< nπ+π

2 <(n+ 1)π < x_n+1 <(n+ 1)π+π 2. Donc (x_n) est croissante . De plus,∀n∈N^∗, 1≤ x_n

nπ ≤1 + 1

2n −→

n→+∞1.

Donc xn ∼

n→+∞nπ , par encadrement (ou le th´eor`eme des gendarmes).

3. Soit n∈Nfix´e. On a : 0< xn−nπ < π

2. Donc xn−nπ = arctan(tan(xn−nπ)).

La fonction tangente estπ-p´eriodique et x_n est solution de l’´equation tan(x) =xdonc x_n−nπ= arctan(tan(x_n)) = arctan(x_n).

x_n ∼

n→+∞nπ −→

n→+∞+∞donc arctan(x_n) −→

n→+∞

π

2 6= 0 et x_n−nπ ∼

n→+∞

π 2 . 4. De plus, −π

2 < xn−nπ−π

2 <0 et on a : tan

x_n−nπ−π 2

=− 1

tan(xn−nπ) =− 1

tan(xn) =− 1 xn

.

Doncx_n−nπ−π

2 = arctan tan

x_n−nπ−π 2

= arctan

− 1 xn

=−arctan 1

xn

, car la fonction arctan est impaire.

1 x_n −→

n→+∞0 donc arctan 1

x_n

n→+∞∼ 1 x_n ∼

n→+∞

1 nπ. Finalement, on a bien : x_n−nπ− π

2 ∼

n→+∞− 1 nπ . Ce quis’´ecrit aussi :x_n =

n→+∞nπ+π 2 − 1

nπ +o 1

n

(d´eveloppement asymptotique).

Exercice 8 : approximation d’un point fixe [´enonc´e]

1. Soit n∈Nfix´e. On a 0<e^un <e^un+ 1 donc 0< e^un

e^un+ 1 <1.

Donc ∀n∈N,u_n+1 ∈[0,1]. Comme u₀∈[0,1], on a : ∀n∈N, u_n∈[0,1] . 2. Pour x∈R, on pose f(x) = e^x

e^x+ 1−x et on a e^x+ 1>0.

Donc f est d´efinie, d´erivable sur Rpar les th´eor`emes g´en´eraux et∀x∈R, f⁰(x) = e^x(e^x+ 1)−e^xe^x

(e^x+ 1)² −1 = e^x

(e^x+ 1)² −1 = −e^2x−e^x−1 (e^x+ 1)² <0, car exp>0. Donc f est continue et strictement d´ecroissante sur R.

De plus, f(0) = 1

2 >0 etf(1) = e¹

e¹+ 1−1 =− 1

e¹+ 1<0.

Par le th´eor`eme de la bijection, l’´equation f(x) = 0⇐⇒ e^x

e^x+ 1 =x admet une unique solution α dansR qui v´erifieα∈]0,1[.

Donc il existe un unique r´eel α tel que e^α

e^α+ 1 =α et il v´erifieα∈]0,1[ . 3. Pour x∈R, on pose h(x) = e^x

e^x+ 1.

Commef,h est d´efinie et d´erivable sur R. Soitx∈[0,1] fix´e.

h⁰(x) =

e^x (e^x+ 1)²

= e^x

(e^x+ 1)² >0.

Comme exp est croissante sur R, on a : 0<e^x ≤e¹ = e et e^x+ 1≥e⁰+ 1 = 2.

Tout est positif donc (e^x+ 1)² ≥4, 1

(e^x+ 1)² ≤ 1

4 et e^x

(e^x+ 1)² ≤ e 4. Donc ∀x∈[0,1], |h⁰(x)| ≤ e

4. Par l’in´egalit´e des accroissements finis, on a :

∀x, y∈[0,1], |h(x)−h(y)| ≤ e

4|x−y|.

De plus, α∈[0,1], h(α) =α et pour toutn∈N,un∈[0,1] etun+1 =h(un).

Donc ∀n∈N, |u_n+1−α|=|h(u_n)−h(α)| ≤ e

4|u_n−α|. 4. Montrons par r´ecurrence que Pn: ”|u_n−α| ≤e

4 n

” est vraie pour toutn∈N.

−Initialisation : u0, α∈[0,1] donc|u₀−α| ≤1 = e

4 0

.P0 est vraie.

−H´er´edit´e : Supposons quePn est vraie pour un entiern∈N(HR). On a alors

|u_n+1−α| ≤ e

|u_n−α| ≤ e

×en

=en+1

etPn+1 est vraie.

−Conclusion : Par le principe de r´ecurrence, Pn est vraie pour toutn∈N. Donc ∀n∈N, |u_n−α| ≤e

4 n

. 0<e <4 donc 0< e

4 <1 et e 4

n

n→+∞−→ 0. Donc (u_n) converge versα .

5. Cherchons un entierp tel que|u_p−α| ≤e 4

p

≤10⁻³. e

4 p

≤10⁻³ ⇐⇒plne 4

| {z }

<0

≤ −3 ln(10)⇐⇒p≥ −3 ln(10) ln e₄ .

$−3 ln(10) ln e₄

%

+ 1 = 18 donc u18 est une valeur approch´ee deα `a 10<sup>−3</sup> pr`es .

Exercice 13 : sinus cardinal [´enonc´e]

f ∈C²(R^∗), par les th´eor`emes g´en´eraux.

sin(x)

x −→

x→01 doncf se prolonge en une fonction continue sur Ren posantf(0) = 1.

On note encore f ce prolongement. Ainsif est continue sur RetC¹ surR^∗. Six6= 0, f⁰(x) = xcosx−sinx

x² =

x→0

x−^x₂³ −x+^x₆³ +o(x³)

x² ∼

x→0−x

3. Doncf⁰(x)−→

x→00.

Par le th´eor`eme de la limite de la d´eriv´ee, f est d´erivable en 0,f⁰(0) = 0 etf estC¹ sur R. Ainsi, f⁰ est continue surRetC¹ sur R^∗ (car f est C² surR^∗).

Six6= 0, f⁰⁰(x) =· · ·= 2 sin(x)−x²sin(x)−2xcos(x)

x³ =

x→0· · · ∼

x→0−1 3. Par le th´eor`eme de la limite de la d´eriv´ee,f⁰ est d´erivable en 0,f⁰⁰(0) =−1

3 etf⁰ estC¹ surR. Finalement, f est de classe C² surR,f⁰(0) = 0 etf⁰⁰(0) =−1

3 .

Exercice 14 : d´eveloppement en s´erie enti`ere [´enonc´e]

1. ∀x∈]−1,+∞[, x+ 1>0.

Donc f :x7→ln(x+ 1) est de classeC^∞ sur ]−1,+∞[, par les th´eor`emes g´en´eraux.

Pour x >−1,f⁽⁰⁾(x) = ln(x+ 1),f⁰(x) = 1

x+ 1,f⁰⁰(x) = −1

(x+ 1)²,f⁽³⁾(x) = 2 (x+ 1)³...

Soit la propri´et´e Pk: ”∀x >−1, f^(k)(x) = (k−1)!(−1)^k−1

(x+ 1)^k ”,k∈N^∗.

−Initialisation : ∀x >−1,f⁰(x) = 1

x+ 1 = (1−1)!(−1)¹⁻¹

(x+ 1)¹ .P1 est vraie.

−H´er´edit´e : Supposons quePk est vraie pour un entierk∈N^∗ (HR). On a alors f^(k+1)(x) =

(k−1)!(−1)^k−1 (x+ 1)^k

⁰

= (k−1)!(−1)^k−1(−k)(x+ 1)^−k−1 = k!(−1)^k (x+ 1)^k+1, etPk+1 est vraie.

−Conclusion : Par le principe de r´ecurrence, Pk est vraie pour toutk∈N^∗. Donc ∀k∈N^∗,∀x >−1, f^(k)(x) = (k−1)!(−1)^k−1

(x+ 1)^k .

2. Soit n ∈N^∗. Comme f ∈C^∞(]−1,+∞[), on peut appliquer la formule de Taylor avec reste int´egral en a= 0 :

f(0) = 0 et∀k∈N^∗, f^(k)(0)

k! = (k−1)!(−1)^k−1

k! = (−1)^k−1

k donc, pour tout x >−1,

ln(x+ 1)−

n

X

k=1

(−1)^k−1 k x^k

=

Z x 0

(x−t)ⁿ n!

n!(−1)ⁿ (t+ 1)ⁿ⁺¹dt

. Soit x∈[0,1] fix´e. Par l’in´egalit´e triangulaire, on a :

Z x 0

(x−t)ⁿ n!

n!(−1)ⁿ (t+ 1)ⁿ⁺¹dt

≤ Z x

0

(x−t)ⁿ n!

n!(−1)ⁿ (t+ 1)ⁿ⁺¹

dt= Z x

0

(x−t)ⁿ (t+ 1)ⁿ⁺¹

| {z }

≥0

dt.

Pourt∈[0, x], (t+ 1)ⁿ⁺¹≥1, 1

(t+ 1)ⁿ⁺¹ ≤1 et (x−t)ⁿ≥0 donc (x−t)ⁿ

(t+ 1)ⁿ⁺¹ ≤(x−t)ⁿ. Par croissance de l’int´egrale, on a :

Z x 0

(x−t)ⁿ n!

n!(−1)ⁿ (t+ 1)ⁿ⁺¹dt

≤ Z x

0

(x−t)ⁿdt=

−(x−t)ⁿ⁺¹ n+ 1

x 0

= xⁿ⁺¹ n+ 1 −→

n→+∞0, par op´erations sur les limites, car 0≤x≤1.

Donc ∀x∈[0,1],

n

X

k=1

(−1)^k−1

k x^k −→

n→+∞ln(1 +x) .

Pour x= 1, on obtient

n

X

k=1

(−1)^k−1

k −→

n→+∞ln(2)

Exercice 18 : limites [´enonc´e]

1. a) Soit x∈R^∗ fix´e.

x n −→

n→+∞0 donc, pour nassez grand, 1 +x

n >0 et 1 +x

n n

= e^nln(^1+x_n).

De plus, nln

1 +x

∼ n× x

=x6= 0, donc e^nln(^1+x_n) −→ e^x, par composition.

Six= 0 alors∀n∈N^∗, 1 +x

n n

= 1 = e⁰. Finalement ∀x∈R, lim

n→+∞

1 +x

n n

= e^x .

b) cos(x) =

x→01−x² 2 +x⁴

24 +o(x⁴) et √

1 +u =

u→01 +u 2 −u²

8 +o(u²).

u=−x²−→

x→00 donc p

1−x² =

x→01−x² 2 −x⁴

8 +o(x⁴).

Donc cos(x)−p

1−x² =

x→0

x⁴

6 +o(x⁴) et cos(x)−√ 1−x²

x⁴ =

x→0

1

6+o(1).

Donc lim

x→0

cos(x)−√ 1−x²

x⁴ = 1

6 . 2. a) On posex= 1 +h−→

h→01.

e^(1+h)2+1+h = e^2+3h+h2 = e²e^3h+h2 et e^2(1+h) = e²e^2h. e^u =

u→01 +u+o(u) et u= 3h+h² −→

h→00 donc e^(1+h)2+1+h =

h→0e²(1 + 3h+o(h)). De mˆeme, e^2(1+h) =

h→0e²(1 + 2h+o(h)).

Donc e^(1+h)2+1+h−e^2(1+h) =

h→0e²h+o(h).

D’autre part, cosπ

2(1 +h)

= cosπ 2 + π

2h

=−sinπ 2h

. sin(u) ∼

u→0u etu= π 2h−→

h→00 donc cos π

2(1 +h)

h→0∼ −π 2h.

Finalement, e^(1+h)2+1+h−e^2(1+h) cos ^π₂(1 +h) ∼

h→0

e²h

−^πh₂ =−2e² π . Donc lim

x→1

e^x2+x−e^2x

cos(^π₂x) =−2e² π .

b) sin(u) =

u→0u−u³

6 +o(u³) et u= 1 n −→

n→+∞0 donc sin1

n =

n→+∞

1 n − 1

6n³ +o 1

n³

. Donc nsin 1

n−1 ∼

n→+∞− 1 6n² −→

n→+∞0.

Donc ln

nsin1 n

= ln

1 +nsin1 n−1

n→+∞∼ nsin1

n−1 ∼

n→+∞− 1 6n². Donc n²ln

nsin 1

n

n→+∞∼ −1

6 et e^n2ln(^nsin_n¹) −→

n→+∞e⁻¹⁶. Donc lim

n→+∞

nsin 1

n n²

= e⁻¹⁶ .