On suppose que le théorème de Pick est vrai séparément pour le polygone P et pour le triangle T

H116 – Un polygone tarabiscoté

Solution.

Le théorème de Pick permet de mesurer très rapidement l’aire comprise à l’intérieur du polygone ABCDEFGHIJK. Ce théorème s’énonce ainsi : soit un polygone P dont tous les sommets sont choisis à l’intérieur d’un réseau maillé dont tous les points ont des coordonnées entières. On désigne par I le nombre de points du réseau maillé qui sont strictement à

l’intérieur de P et par F le nombre de points qui sont sur le périmètre de P, sommets inclus.

L’aire A contenue dans P est alors égale à A = I +F/2 – 1.

Donnons succinctement les grandes lignes de la démonstration de ce théorème :

1) Soit un polygone P et un triangle T qui ont un côté commun. Dans la figure ci-après, à titre d’exemple, le quadrilatère ABCD est le polygone P et ADE est le triangle T. Ils forment le pentagone ABCDE et ont en commun le côté AD. On suppose que le théorème de Pick est vrai séparément pour le polygone P et pour le triangle T. On va démontrer qu’il est encore vrai pour le polygone PT obtenu en ajoutant T. Comme P et T ont un côté commun, tous les points situés sur le côté commun en nombre x deviennent des points intérieurs au nouveau polygone à l’exception des deux sommets qui délimitent le côté commun .

Sur la base des notations retenues dans l’énoncé du théorème de Pick, on a les formules : 2

x ) I (I

I_PT  _P _T   et F_PT(F_PF_T)2(x2)2.

Comme le théorème de Pick est vrai pour P, on a A_P I_PF_P/21 et comme il est aussi vrai pour T, on a A_TI_TF_T/21.

D’où A_PTA_PA_T (I_PI_T)(F_PF_T)/22 et 1 /2 F I 2 1 2) (x /2 F 2 x I

A_PT  _PT   _PT      _PT _PT  .

A titre d’illustration, avec le pentagone ABCDE ci-dessus, on a x = 3, I_PT=17 + 6 + 3 – 2 = 24 et F = 8 + 4 – 2(3-2) – 2 = 8_PT A_PT= 24 + 8/2 – 1 = 27 = A_PA_T= (17 +8/2 – 1) + (6+4/2-1) = 20 + 7.

Il en résulte que si le théorème est vrai pour les polygones construits avec n triangles, il est aussi vrai pour les polygones construits avec n+1 triangles. Il reste à démontrer que le théorème est vrai pour les triangles.

2) Pour ce faire, il s’agit de démontrer que la formule est vraie pour tout rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes ainsi que pour les triangles rectangles dont les côtés de l’angle droit sont aussi parallèles aux axes. Comme un triangle quelconque peut alors être « habillé » de trois triangles rectangles au maximum pour donner un rectangle (voir figure ci-après), la formule de Pick relative à ce triangle se déduit des formules appliquées au rectangle et aux trois triangles rectangles.

Le rectangle ABCD de dimensions a et b a pour surface ab. Le nombre de points intérieurs au rectangle est I_ABCD(a1).(b1), le nombre de points sur le périmètre est F_ABCD2(ab). Le théorème de Pick donne A_ABCDI_ABCDF_ABCD/21(a1).(b1)(ab)1ab. Dans la figure ci-dessus, on a = 6 et b = 9I_ABCD=40 et F_ABCD=2(6+9)=30 A_ABCD = 40 + 30/2 – 1 = 54 = 6*9.

Pour ce qui concerne les triangle rectangles, nous ne donnerons pas le détail de la

démonstration qui ne soulève pas de difficultés majeures. Une seule précaution est à prendre afin de distinguer les triangles selon que leur hypoténuse passe ou ne passe pas par des points de coordonnées entières (EF et CF par exemple qui en contiennent respectivement 1 et 2 à l’inverse de CE qui n’en a aucun).

Venons en maintenant au polygone tarabiscoté :

Le décompte des points intérieurs est de 74.

Les seuls côtés qui passent par des points de coordonnées entières sont : DE (2 points autres que D et E), FG (un seul point autre que F et G) et IJ (un seul point autre que I et J). Au total, avec les 13 sommets il y a 13 + 4 = 17 points sur le périmètre du polygone.

L’aire hachurée en jaune à l’intérieur du polygone A B C D E F G H I J K L M est donc égale d’après le théorème de Pick à 74 + 17/2 – 1 = 81,5.