Le produitpdes longueurs des segments qui relientP à tous les sommets du polygone est donc tel que p= n−1 Y j=0 P Aj= n−1 Y j=0

D279. Les trois inconnues du polygone ***

Un polygone régulier àncôtés est inscrit dans un cercle de centreOdont le rayon est un entier r. Sur la droite qui relieO à l’un des sommets du polygone, on trace un pointP extérieur au polygone tel que la distanced =OP est un multiple entier>1 der. Le produit des longueurs des segments qui relientP à tous les sommets du polygone est égal à 1881792. En déduiren,r etd.

Solution de Claude Felloneau

L’unique solution estn=5,r=6,d=18.

Il existe un repère orthonormé du plan dans lequel l’affixe deP est d =kr aveck ∈N^∗ et les affixes des sommetsA_j, j compris entre 0 etn−1, du polygone sontre^{2 i}

πj n .

Le produitpdes longueurs des segments qui relientP à tous les sommets du polygone est donc tel que

p=

n−1

Y

j=0

P A_j=

n−1

Y

j=0

¯

¯

¯kr−re^{2 i}

πj n

¯

¯

¯=rⁿ

¯

¯

¯

¯

¯

n−1

Y

j=0

³ k−e^{2 i}

πj n

´

¯

¯

¯

¯

¯

=rⁿ¡ kⁿ−1¢

.

On a doncrⁿ(kⁿ−1)=1881792=2⁶·3⁵·11². Commerⁿdivise 2⁶·3⁵·11², on an66 our =1.

– Sir =1, alorskⁿ−1=1881792 donckⁿ=1881793 dont la décomposition en facteurs premiers est 31·60703. C’est impossible puisquen>3.

– Sir6=1, alorsr>2 etn66.

Le tableau suivant donne les divers cas

n r k= µ

1+1881792 rⁿ

¶_n¹

6 2 5, 555

5 2 8, 992

5 3 5, 995

5 6 3

4 2 18, 518

4 3 12, 346

4 6 6, 1739

3 2 61, 729

3 3 41, 153

3 4 30, 865

3 6 20, 577

3 12 10, 291

On a doncn=5,r=6 etd=kr=18.

page 1 / 1