D279. Les trois inconnues du polygone ***
Un polygone régulier àncôtés est inscrit dans un cercle de centreOdont le rayon est un entier r. Sur la droite qui relieO à l’un des sommets du polygone, on trace un pointP extérieur au polygone tel que la distanced =OP est un multiple entier>1 der. Le produit des longueurs des segments qui relientP à tous les sommets du polygone est égal à 1881792. En déduiren,r etd.
Solution de Claude Felloneau
L’unique solution estn=5,r=6,d=18.
Il existe un repère orthonormé du plan dans lequel l’affixe deP est d =kr aveck ∈N∗ et les affixes des sommetsAj, j compris entre 0 etn−1, du polygone sontre2 i
πj n .
Le produitpdes longueurs des segments qui relientP à tous les sommets du polygone est donc tel que
p=
n−1
Y
j=0
P Aj=
n−1
Y
j=0
¯
¯
¯kr−re2 i
πj n
¯
¯
¯=rn
¯
¯
¯
¯
¯
n−1
Y
j=0
³ k−e2 i
πj n
´
¯
¯
¯
¯
¯
=rn¡ kn−1¢
.
On a doncrn(kn−1)=1881792=26·35·112. Commerndivise 26·35·112, on an66 our =1.
– Sir =1, alorskn−1=1881792 donckn=1881793 dont la décomposition en facteurs premiers est 31·60703. C’est impossible puisquen>3.
– Sir6=1, alorsr>2 etn66.
Le tableau suivant donne les divers cas
n r k= µ
1+1881792 rn
¶n1
6 2 5, 555
5 2 8, 992
5 3 5, 995
5 6 3
4 2 18, 518
4 3 12, 346
4 6 6, 1739
3 2 61, 729
3 3 41, 153
3 4 30, 865
3 6 20, 577
3 12 10, 291
On a doncn=5,r=6 etd=kr=18.
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