D279 Les trois inconnues du polygone.
Un polygone régulier à n côtés est inscrit dans un cercle de centre O dont le rayon est un entier r. Sur la droite qui relie O à l’un des sommets du polygone, on trace un point P extérieur au polygone tel que la distance d = OP est un multiple entier > 1 de r. Le produit des longueurs des segments qui relient P à tous les sommets du polygone est égal à 1881792. En déduire n, r et d.
En produit de facteurs premiers 1881792 = 26 35 11² . Comme d est un multiple entier de r, le produit des longueurs des segments qui relient P à tous les sommets d'un polygone de n côtés est multiple de rn . On peut légitimement penser à r=2 et n=6 ou bien r=3 et n=5 ou encore r=6 et n=5.
Dans le plan complexe prenons P sur l'axe des réels. L'abscisse de P est d=x.r , considérons le produit de n nombres complexes П( xr - r e2kiП/n ), pour k de 0 à (n-1). C'est bien le produit des longueurs des segments reliant le point P à tous les sommets du polygone de n côtés : suivant la parité de n, il comprend un ou deux termes réels positifs qui sont des longueurs de tels segments, tandis que les termes non réels s'associent par couple de nombres conjugués dont le produit est réel , égal au carré du module de ces deux nombres, et donc équivaut au produit des longueurs de deux tels segments symétriques par rapport à l'axe des réels.
Ce produit s'écrit rn П( x - e2kiП/n ) = rn (xn -1)
L'essai r =2 et n=6 conduit à rechercher l'entier x tel que x6 -1 = 35 11² . on trouve x ≈ 5,555 ce qui ne convient pas.
L'essai r =3 et n=5 conduit à rechercher l'entier x tel que x5 -1 = 26 11² . on trouve x ≈ 5,995 ce qui ne convient pas.
L'essai r =6 et n=5 conduit à rechercher l'entier x tel que x5 -1 = 2. 11² . on trouve x = 3 ce qui convient . On a bien 65 (35 -1) = 1881792 Les résultats sont donc n = 5, r = 6, et d = 18
