D1930 – Comme dans un kaléidoscope [** à la main]
On trace un point A₁ sur la circonférence Γ du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC. Sur les côtés A₁B, BC et CA₁ du triangle A₁BC, on trace respectivement les points P₁,Q₁ et R₁ tels que A₁P₁ = A₁B/3, BQ₁=BC/3 et CR₁=CA₁/3. Déterminer les lieux des milieux I₁,J₁ et K₁ des segments P₁Q₁,Q₁R₁ et R₁P₁ quand A₁ parcourt Γ.
A partir de deux points courants B₂ et C₃ sur Γ, on opère de la même manière dans les triangles B₂CA et C₃AB et l’obtient respectivement les points I₂,J₂ et K₂ puis I₃,J₃ et K₃ dont on détermine les lieux quand A₂ puis A₃ parcourent Γ. Démontrer que les lieux des points I₁,I₂,I₃ et K₁ (comme les lieux de J₁,J₂,J₃ et I₂ et ceux de K₁,K₂,K₃ et J₃) passent par un même point dont on précisera la position dans le triangle ABC.
Solution proposée par Bernard Vignes
Les lieux des points I₁,I₂,I₃,J₁,J₂,J₃ et K₁,K₂,K₃ sont tous des cercles qui s’obtiennent par un enchaînement d’homothéties H à partir du cercle Γ.
Exemple :
1) lieu de I₁. Le lieu de P₁ est le cercle Γ₁ homothétique de Γ par H(B,2/3). D’où lieu de I₁= cercle homothétique de Γ₁ par H(Q₁,1/2). Voir cercle γ₁₁ à trait plein rouge.
2) lieu de J₁. Le lieu de R₁ est le cercle Γ₂ homothétique de Γ par HC,1/3). D’où lieu de J₁= cercle homothétique de Γ₂ par H(Q₁,1/2). Voir cercle γ₁₂ à trait plein vert.
3) lieu de K₁. La droite P₁R₁ coupe la droite BC en un point fixe D quand A₁ parcourt Γ.
En effet d’après le théorème de Ménélaüs appliqué au triangle A₁BC et à la droite P₁R₁D, on a l’identité :
DB/DC * R₁C/R₁A₁ * P₁A₁/P₁B = 1. D’où DB/DC = 4 et CD = BC/3. A partir de la relation CB/CD * R₁D/R₁P₁ * A₁P₁/A₁B = 1 , on en déduit R₁D = R₁P₁ et R est le milieu de D₁. Dès lors le lieu de K₁ est le cercle homothétique de Γ₁ par H(D,3 /4).
Voir cercle γ₁₃ à trait plein bleu.
Les rayons des trois cercles γ₁₁,γ₁₂ et γ₁₃ se déterminent aisément à partir du rayon ρ du cercle Γ et valent respectivement ρ/3, ρ/6 et ρ/2 .Les cinq points d’intersection distincts de ces cercles avec le côté BC du triangle sont régulièrement espacés entre B et C.
Par le jeu de symétries successives par rapport aux rayons OA,OB et OC, on voit comment on passe des cercles γ₁₁, γ₁₂ et γ₁₃ aux cercles γ₂₁ γ₂₂ γ₂₃ lieux des points J₁,J₂ et J₃ et aux cercles γ₃₁,γ₃₂ γ₃₃ lieux des points K₁,K₂ et K₃. Le point commun X aux lieux des points I₁,I₂,I₃ et K₁ apparaît clairement sur la figure ci-après.Si par convention on prend O centre de Γ pour origine et BC = rayon de Γ = 6 parallèle à l’axe des abscisses, alors les
coordonnées de X sont -1 et 0.Les deux autres points communs s’obtiennent par rotation de 120° autour de O.
