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D273 - Les trois inconnues du polygone

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Academic year: 2022

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Un polygone régulier à n côtés est inscrit dans un cercle de centre O dont le rayon est un entier r.

Sur la droite qui relie O à l’un des sommets du polygone, on trace un point P extérieur au polygone tel que la distance d = OP est un multiple entier > 1 de r. Le produit des longueurs des segments qui relient P à tous les sommets du polygone est égal à 1881792. En déduire n, r et d.

1881792=26*35*112. Or (35-1)/2=1+3+9+27+81=121=112, 1881792=185- 65 Soit le plan complexe, d’origine O, avec le point P placé sur l’axe réel ; les

sommets du polygone régulier à n cotés ont pour affixes r*e2kπi/n , où k=0,..., n-1 et compte tenu des symétries le produit cherché est égal au produit des affixes

∏(d-r*e2kπi/n )=dn-rn .

On en déduit que n=5, r=6 et d=18.

D273 - Les trois inconnues du polygone

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