D256 Un polygone dans une grille
P est un polygone simple dont les arêtes ne se croisent pas. Les coordonnées (en cm) de tous ses sommets et les longueurs (en cm) de ses arêtes sont toutes des nombres entiers. Le périmètre de P est égal à 32 cm. Quelles sont les valeurs possibles de la surface intérieure au polygone ?
Solution proposée par Paul Voyer
Les côtés du polygone ont pour longueurs possibles :
- n cm entier compris entre 1 et 15 (horizontalement ou verticalement), - 5 cm oblique (côtés de triangle pythagoricien 3, 4, 5, pente ±3/4 ou 4/3), - 10 cm oblique (deux fois 5, pente ±3/4 ou 4/3),
- 15 cm oblique (trois fois 5, pente ±3/4 ou 4/3),
- 13 cm oblique (côté de triangle pythagoricien 5, 12, 13, pente ±5/12 ou 12/5).
Remarque : S est nécessairement entier, car les "composants" sont des carrés de 1 cm² et des triangles pythagoriciens d'aires respectives entières 6 et 30 cm².
Maximum : S peut valoir 64 cm² (P est un carré de 8x8) et au moins 15 cm² (sans utiliser les obliques).
En retirant un carré de 1x1 cm d'un coin, le périmètre reste 32 cm, et S est diminué de 1 cm², etc… jusqu'à obtention d'un "L" de 15 carrés.
Dans un carré 10x10, de périmètre 40, en rognant 4 triangles (3, 4, 5) dans les coins, on obtient un polygone de périmètre P 32 cm et d'aire S 76 cm².
C'est l'aire maximum possible pour un polygone P de périmètre 32 cm.
S=76 cm² S=75 cm²
N.B. Un cercle de périmètre p=32 cm aurait une aire
4
²
p de 81.5 cm².
La même opération dans un rectangle 9x11 conduit à 75 cm².
Dans un rectangle 8x12, on obtient 72 cm².
Dans un rectangle 8x10, de périmètre 36, en rognant les 2 coins supérieurs, on obtient un polygone de S 68 cm² à base carrée, laquelle permet aussi 67, 66 et 65 cm² etc… comme ci- dessus dans le cas 64.
En découpant dans P un parallélépipède ayant pour côté une des hypoténuses de rognage comme indiqué sur la figure, on peut, sans changer le périmètre, réduire S de 3 ou de 4 cm², et ainsi atteindre :
69 cm² =76-3-4 (2 coins rognés) 70 cm² =76-3-3
71 cm² =75-4 73 cm² =76-3
La seule valeur impossible à obtenir par cette méthode est 74 cm².
Minimum : Composé de 15 carrés alignés de 1 cm², P a une aire S=15 cm².
Ces carrés sont organisés en 3 rectangles 5x1 juxtaposés, pour chacun de ces rectangles, on peut le déformer de 2 façons et le transformer en parallélépipède de 3 ou 4 cm². Cela permet de construire P avec toutes les valeurs S de 9 à 15.
On sait par ailleurs construire P pour S = 4, 5, 6, 7 et 8 cm² comme décrit ci-dessous :
S=8 cm² S=7 cm²
S=6 cm² S=5 cm²
S=4 cm² Conclusion :
S peut prendre toutes les valeurs entières comprises entre 4 et 76 cm² sauf 74 cm².
