Pour un polygone Z = (z0

Problème : Formule de Héron et inégalité isopérimétrique Définitions et notations

— Dans tout le problème, on travaille dans le plan complexe C.

— Dans tout le problème, ndésigne un entier supérieur ou égal à 3 et on poseω=e^2iπn .

On utilisera le plus souvent possible les propriétés deωplutôt que son expression afin de ne pas alourdir les calculs.

— Un polygone à n côtés (ou tout simplement polygone si n est sous-entendu) est un n-uplet Z = (z₀, z₁,· · · , zn−1)∈Cⁿ. On convient quez_n=z₀.

— Pour un polygone Z = (z₀, . . . , zn−1)∈Cⁿ, on poseZe= (ze₀, . . . ,zgn−1) où

∀j∈[[0, n−1], zej = 1

√n

n−1

X

k=0

(ω^j)^kz_k.

On notera queze₀=ze_n.

— Un polygone Z = (z₀, . . . , zn−1)∈Cⁿ est dit équilatéral lorsque|z_k+1−z_k|ne dépend pas dek pour06k6n−1.

— Un polygone Z = (z0, . . . , zn−1)∈Cⁿ est dit régulier lorsqu’il existea∈C^? etb∈C tels que

∀k∈[[0, n−1]], z_k=aω^k+bou ∀k∈[[0, n−1]], z_k=aω^k+b.

— Le conjugué du polygone Z = (z0, . . . , zn−1)∈Cⁿ est le polygoneZ = (z0, . . . , zn−1)∈Cⁿ.

— Le translaté du polygone Z = (z0, . . . , zn−1) ∈ Cⁿ par b ∈ C est le polygone Z +b = (z0 + b, . . . , zn−1+b)∈Cⁿ.

— Le dilaté du polygoneZ = (z₀, . . . , zn−1)∈Cⁿpara∈C^?est le polygoneaZ = (az₀, . . . , azn−1)∈ Cⁿ.

Partie N^o1 : Aire géométrique d’un triangle

Pour tous a, b, c∈C, on poseA(abc) =A(a, b, c) = ¹₂Im

(b−a)(c−a) .

L’objectif de cette première partie est de prouver que cette quantité est égale à l’aire orientée du triangle abc.

1. CalculerA(abc)pour tousa, b∈Retc∈C. Puis prouver le résultat voulu sur ce cas particulier.

2. (a) Comparer Im(uv)etIm(uv) pouru, v∈C.

(b) Montrer que pour tousa, b, c∈C,A(cba) =−A(abc).

On pourra observer queb−c= (b−a) + (a−c).

(c) Montrer que pour tousa, b, c∈C,A(bca) =A(abc).

Ces résultats montrent que le réel A(abc) dépend du triangle orientéabcindépendamment de l’ordre dans lequel on écrit ses sommets, à condition tout de même que l’on respecte la même orientation.

3. (a) Soientλ∈Uetµ∈C. On notef l’isométrie directe z7→λz+µ.

Quel impact à l’application f sur les longueurs ?

Quel impact à l’application f sur les mesures d’angle orienté ? ExprimerA(f(a)f(b)f(c))en fonction de A(abc) poura, b, c∈C.

(b) Montrer pour tous a, b∈C l’existence d’une isométrie directef pour laquellef(a) = 0 et f(b) =|b−a|.

4. Montrer que le réelA(abc)est l’aire orientée du triangle abcpour tous a, b, c∈C. 1

Partie N^o2 : La formule de Héron

Soit abcun triangle. On pose A=|b−c|,B =|c−a|,C=|a−b|etD= ^A+B+C₂ . 1. (a) Montrer que, pour tout u, v∈C,|u+v|²=|u|²+|v|²+ 2 Re(uv).

(b) En déduire que B²+C²−A² = 2 Re((b−a)(c−a)).

(c) En déduire que A(abc)² =D(D−A)(D−B)(D−C).

Cette formule relie l’aire du rectangle abc à la seule longueur de ses côtés. Elle a été découverte et démontrée par le mathématicien et physicien Héron d’Alexandrie au premier siècle avant J.-C.

2. Soitd >0.

(a) Soitnun entier supérieur ou égal à2. Calculer le maximum de la fonctionx7→x×

d−x n−1

n−1

sur[0, d].

En quelle(s) valeur(s) ce maximum est-il atteint ? (b) Soitn∈N^?. Calculer max

x1,...,xn∈R⁺ / x1+···+x_n=dx₁× · · · ×x_n. Donner les valeurs pour lesquelles ce maximum est atteint.

3. (a) On suppose, dans cette question, queaetbsont fixés ainsi que le périmètre du triangleabc mais que le pointcest variable.

Quand est-ce que l’aire non orienté|A(abc)|est maximale ?

(b) On suppose, dans cette question, que le périmètre du triangle abc est fixé mais que les points a,b etcsont variables.

Quand est-ce que l’aire non orienté|A(abc)|est maximale ?

Partie N^o3 : Préliminaires à l’inégalité isopérimétrique 1. Vérifier qu’un polygone régulier est équilatéral.

Etudier la réciproque.

2. (a) Pourp∈Z, calculer

n−1

X

k=0

(ω^p)^k.

(b) En déduire que, pour tout Z = (z0, . . . , zn−1)∈Cⁿ,

∀j ∈[[0, n−1]], zj = 1

√n

n−1

X

k=0

(ω^j)^kzek.

Pour tout polygone Z= (z0, . . . , zn−1)∈Cⁿ, on pose L(Z) =

n−1

X

k=0

|z_k+1−z_k|, E(Z) =

n−1

X

k=0

|z_k+1−z_k|² etA(Z) = 1 2Im

n−1

X

k=0

z_kz_k+1

!

3. Interpréter géométriquement LetA. Justifier l’appellation E.

4. Donner les relations vérifiées parL,E etAvia le passage au conjugué (Z 7→Z), via l’application d’une translation (Z 7→Z+b) et via l’application d’une dilatation (Z 7→aZ).

5. CalculerL(Z),E(Z) etA(Z) lorsqueZ est un polygone régulier.

6. Soient A et B deux points du plan complexe et ∆ une droite parallèle à (AB) qui n’est pas confondue avec la droite(AB).

M est un point quelconque de∆.

Donner la position deM qui minimise la quantité AM +BM. On fera une démonstration purement géométrique.

2

A

B M ∆

Partie N^o4 : Inégalité isopérimétrique discrète Dans cette partie, on cherche à prouver le théorème qui suit.

Soitnun entier supérieur ou égal à 3.

Pour tout polygoneZ = (z0,· · ·, zn)∈Cⁿ, non réduit à un point,

|A(Z)|

L(Z)² 6 1 4ntan ^π_n avec égalité si, et seulement si,Z est régulier.

Théorème 1:Inégalité isopérimétrique discrète

1. Montrer que pour tout polygone Z, non réduit à un point, ^L(Z)_E(Z)² 6n.

Donner tous les cas d’égalité.

2. Etablir les égalités qui suivent.

A(Z) = 1 2

n−1

X

k=0

sin 2kπ

n

|zek|² etE(Z) = 4

n−1

X

k=0

sin² kπ

n

|zek|².

3. On pose Γ(Z) =E(Z)−4 tan ^π_n A(Z).

(a) Montrer que

Γ(Z) = 4

n−1

X

k=0

sin kπ

n sin

kπ n

−tanπ n

cos

kπ n

|ze_k|².

(b) En déduire que Γ(Z)>0.

(c) En déduire que ^|A(Z)|_E(Z) 6 _{4 tan}¹(^π_n).

(d) Montrer enfin qu’il n’y a égalité que lorsqueZ est un polygone régulier.

4. On pose An=

n_|A(Z)|

L(Z)² / Z polygone non réduit à un point o

. On suppose que A_n n’est pas majoré.

(a) Montrer qu’il existe une suite(Z^k)k∈N de polygones vérifiant, pour tout k∈N,

n−1

X

j=0

z_j^k= 0, L(Z^k) = 1 et lim

k→+∞|A(Z^k)|= +∞.

Remarque : Les exposants k sont bien entendu à considérer ici comme une numérotation.

(b) Montrer que, pour tout k∈N, pour tout 06j6n−1,|z^k_j|62.

3

(c) En déduire une absurdité.

5. Montrer queAn possède un maximum. On note`ce maximum.

Indication : On commencera par prouver l’existence d’une borne supérieure.

6. On suppose donnéZ un polygone non réduit à un point tel que ^|A(Z)|_L(Z)2 =`.

Montrer queZ est équilatéral.

Indication : On pourra « déplacer » z_j parallèlement à z_j+1−zj−1 pour établir |z_j −zj−1| =

|z_j+1−zj|.

En déduire la valeur de` puis tous les cas réalisant le maximum deAn. Partie N^o5 : Inégalité isopérimétrique continue Dans cette partie, on cherche à prouver le théorème qui suit.

Soitγ : [a, b]→Cune fonction de classe C¹. On noteA(γ) = ¹₂Im

Rb

a γ⁰(t)γ(t)

etL(γ) =Rb

a |γ⁰(t)|dt. Alors

|A(γ)|6 1

4πL(γ)². Théorème 2:Inégalité isopérimétrique continue

Pour 06k6n, on posea_k=a+ (b−a)_n^k. Soitγ : [a, b]→Cune fonction de classe C¹.

1. Soitf : [a, b]→C une fonction continue.

Pour tout n∈N^?, pour tout k∈[[0, n−1]], on se donne un élémentc_k ∈[a_k, a_k+1].

Montrer que

n→+∞lim b−a

n

n−1

X

k=0

f(c_k) = Z b

a

f(t) dt.

2. Existence et calcul de

n→+∞lim

n−1

X

k=0

|γ(a_k+1)−γ(a_k)|.

3. Existence et calcul de

n→+∞lim

n−1

X

k=0

Im

γ(ak)γ(ak+1)

. 4. Montrer l’inégalité isopérimétrique continue

5. Montrer que l’inégalité isopérimétrique continue est optimale.

* * * FIN DU SUJET * * *

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