D256 Un polygone dans une grille
P est un polygone simple dont les arêtes ne se croisent pas. Les coordonnées (en cm) de tous ses sommets et les longueurs (en cm) de ses arêtes sont toutes des nombres entiers. Le périmètre de P est égal à 32 cm. Quelles sont les valeurs possibles de la surface intérieure au polygone ?
Solution de Claudio Baiocchi On va montrer que :
1. Pour tout polygone P la mesure A (en cm2) est un entier.
2. La valeur de A doit être au moins 4 et (estimation très grossière) au plus 96.
3. Pour toute valeur A entre 4 et 76, à l’exception de 74, il existe un P dont l’aire est A.
Les points 1 et 2 seront obtenus à partir du Théorème de Pick , qui fournit l’aire A de P en termes du nombre des points (de la grille):
A = i – 1 + b/2
où i est le nombre de points intérieurs et b est le nombre de points du bord.
Le premier point à fixer est le type de segments qui peuvent paraitre dans le bord de P. Outre les segments horizontaux et verticaux on peut employer uniquement les hypoténuses des triangles rectangles [3, 4, 5] et [5, 12, 13] (naturellement rien n’empêche de construire des côtés de longueur 10 et 15 en utilisant deux ou trois hypoténuses de longueur 5 …) car l’hypoténuse du triangle [8,15,17] est plus longue que la moitié du périmètre. En particulier:
- Aucun P ne peut pas avoir plus de points intérieurs que le cercle de périmètre 32; ce qui fournit comme borne supérieure pour A en fonction de b la valeur 80+b/2; naturellement il s’agit d’une borne absolument grossière!
- Si l’on n’utilise que des traits horizontaux et verticaux, on a b=32.
- Chaque hypoténuse de longueur 5 fait diminuer le nombre b de 4 unités, et chaque
hypoténuse de longueur 13 fait diminuer ce nombre de 12 unités. Donc la valeur b/2 dans la formule de Pick est toujours entière, donc aussi entière sera l’aire A.
- Puisque trois hypoténuses de longueur 5 «coûtent» autant qu’une de longueur 13, la valeur minimale de b est 8; donc A ne peut pas être plus petite que 3. La valeur 3 correspond à i=0, absence de points intérieurs.Un nombre fini (petit) d’essais montre que i=0 est impossible, donc 4 est le vrai minimum pour A.
- Pour ce qui concerne les «grandes» valeurs de A, je n’ai pas su faire mieux que de chercher P «aussi proche que possible» à un cercle; ce qui peut se faire en retranchant quatre
triangles (3,4,5) du carré 10×10 (aire 76) ou du rectangle 9×11 (aire 75):
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- Pour ce qui concerne les valeurs «petites» on peut regarder la figure suivante; on remarquera qu’on a supprimé l’indication des axes, l’évaluation de b et de i étant plus que suffisante à évaluer les aires. De gauche à droite les aires sont 4, 5 et 7; le polygone d’aire 6 s'obtient rajoutant à celui d’aire 5 le carré unitaire (en vert) ce qui n’altère pas le périmètre. De façon analogue, rajoutant des carrés verts unitaires (dans un ordre convenable!) on passe du polynôme d’aire 7 aux polynômes d’aire 8, 9, 10 et 11:
- Encore par addition de petits carrés on passe, dans les figures suivantes, de l’aire 15 à l’aire 64 et de l’aire 9 à l’aire 42:
- Il ne nous reste qu’à remplir l’intervalle [65,73]; on va faire un peu plus en travaillant «par soustraction» au lieu que «par addition»: on retranche du polygone d’aire 76 un
parallélogramme d’aire 3, ce qui donne aire 73; ensuite on peut retrancher, dans un ordre convenable, encore un parallélogramme d’aire 3 et/ou quelques carrés unitaires. On peut aussi employer des parallélogrammes d’aire 4 au lieu que 3; on peut symétriser ces opérations, ou (comme montré dans la figure) mélanger aires 3 et 4 pour les
parallélogrammes:
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