D270-Le polygone minimal
Solution proposée par Michel Lafond
I) Commençons par examiner le quadrilatère P1 = (ABCD) ci-dessous de périmètre 79,416… :
1) P1 a tous ses sommets à coordonnées entières.
2) Il a le nombre minimal de côtés possibles (en effet une droite rencontre au plus 8 allumettes et il y a 28 allumettes.)
3) Ses côtés traversent les 28 allumettes.
Vérifions que les points douteux ne sont pas sur la frontière du polygone : Notons p(XY) la pente de la droite (XY).
On a p(AB) = 17 / 19 p(BC) = 9 / 11 p(CD) = 11 / 9 p(DA) = 19 / 17.
p(AM1) = 9 / 10 > p(AB) et p(CM2) = 4 / 5 < p(BC).
Cela suffit compte tenu de la symétrie de la figure.
C (8 ; 8)
A (0 ; 0)
B (19 ; 17) D (17 ; 19)
M1 (10 ; 9)
M2 (13 ; 12)
4) Le périmètre de P1 est 2 (AB + BC) = 2( 650 202) 79,416
II) Dans l’énoncé, on n’interdit pas les polygones croisés. Sautons sur l’occasion : Le quadrilatère P2 = (ABCD) ci-dessous a un périmètre de 42,901…unités
5) Les coordonnées des sommets de P2 sont entières.
6) Il a le nombre minimal de côtés possibles (en effet une droite rencontre au plus 8 allumettes et il y a 28 allumettes.)
7) Ses côtés traversent les 28 allumettes.
Vérifions que les points douteux ne sont pas sur la frontière du polygone : Notons p(XY) la pente de la droite (XY).
On a p(AB) = 7 / 8 p(BC) = 7 / 11 p(CD) = 7 / 8 p(DA) = 7 / 5.
p(AM1) = 1 > p(AB) et p(AM1) = 1 < p(AD).
p(AM2) = 3 / 2 > p(AD) et p(CM2) = 3 / 5 < p (CB).
p(CM3) = 2 / 3 > p(CB) et p(AM3) = 4 / 3 < p(AD) . p(CM4) = 2 / 3 > p(CB).
8) Le périmètre de P2 est AB + BC + CD + DA = 2 113 170 74 42,901…
III) Et si on n’impose plus la contrainte sur le nombre minimal de côtés ?
On cherche alors le polygone (croisé ou non) dont tous les sommets sont à coordonnées entières, traversant les 28 allumettes, mais sans passer par une extrémité, et de périmètre minimal.
M1 (4 , 1)
M2 (5 , 3) M3 (6 , 4)
M4 (3 , 2)
D (8 , 7)
A (3 , 0) C (0 , 0)
B (11 , 7)
L’hexagone P3 = (ABCDEF) ci-dessous a un périmètre de 31 , 662… unités
9) Le périmètre de P3 est AB + BC + CD + DE + EF + FA = 31,662…
Peut-on faire mieux ?
IV) Et si on n’impose plus la contrainte sur les coordonnées entières des sommets ?
On cherche alors un polygone (croisé ou non) de périmètre minimal traversant les 28 allumettes, mais sans passer par une extrémité. Le minimum n’est plus atteint dans ce cas. On n’a qu’une limite inférieure.
Le pentagone P4 = (ABCDE) ci-dessous a un périmètre d’environ 18 unités.
On peut s’approcher autant qu’on veut de 7 22 1317,110...
A (1 ; 0)
B (6 ; 4) F (6 ; 6) D (4 ; 6)
C (5 ; 6)
E (0 ; 1)
V) On peut encore libérer une contrainte en cherchant les lignes polygonales…
On devrait ainsi obtenir un périmètre en dessous de 15,7 unités.
A
B C
D
E
