D121 – Le petit ne rentre pas dans le grand.
Solution
A priori, on a l’impression que tout triangle T de périmètre égal à 2 entre aisément dans un triangle équilatéral TE de côté 1 c’est à dire de périmètre 3. En effet la dimension moyenne de chaque côté du triangle T est de 2/3, ce qui revient à dire que la surface moyenne d’un triangle T représente les 4/9èmes de la surface de TE. T est donc sensiblement plus petit que TE et devrait pouvoir s’insérer sans problème à l’intérieur de TE.
La figure ci-après va nous aider à trouver un triangle T « réfractaire ».
Soit AB l’un des côtés du triangle équilatéral ABC de côté 1. On trace l’arc de cercle de centre A et de rayon 0,99 qui coupe AB en Q et BC en P. APQ est un triangle isocèle et si l’on désigne par 2a l’angle PAQ, on a PQ = 2AP*sin(a) = 1,98*sin(a)
Par ailleurs, dans le triangle ABP, on a angle ABP = 60° et angle APB = 180°- 60°- 2a = 120°
- 2a. La loi des sinus dans le triangle ABP donne AP/sin(60°) = AB/sin(APB)=AB/sin(120°- 2a).
D’où sin(120°-2a) = 3/ 1,98 = 0,874773135… Il en résulte 120° - 2a = 118,9818624°…et a
= 0,509068804°….
Dès lors PQ = 2APsin(a) = 0,017591923… et le périmètre du triangle APQ est de 2*0,99+0,017591923.. = 1,997591924… <2.
Un triangle AQR qui ne peut pas rentrer dans le TE a par exemple pour côtés AQ=AR=0,99 et QR=0,02.
