A481 - L’échantillon doré
Problème proposé par Claudio Baiocchi
La maison de parfums CB décide de lancer un nouveau produit qui, en concurrence avec le bien connu N5, s’appellera HaBC et sera vendu en flacons à forme pyramidale dont la base est un triangle de côtés a,b,c (abc) et la hauteur est hc.
Pour tous les futurs acheteurs qui passeront une commande importante, il est prévu de leur adresser un échantillon dont la surface totale est couverte par une mince pellicule dorée.
Comme les commandes sont plus nombreuses que prévu et que le prix de l’or continue à s’envoler, la maison CB définit la géométrie du flacon qui minimise la surface totale S de la pellicule avec les dimensions a,b,c et h du flacon.
A. Déterminer la forme exacte du flacon dans les deux cas suivants : 1) le triangle (a,b,c) est rectangle,
2) le triangle (a,b,c) est quelconque.
B. Pour les plus courageux : sachant que la contenance du flacon est inférieure à 15
millilitres, que les dimensions a,b,c et h s’expriment en nombres entiers de mm et que la surface totale minimale de la pellicule s’exprime en nombre entier de mm², trouver dans chacun des deux cas 1) et 2) les dimensions a,b,c et h d’un flacon qui respecte ces contraintes.
Solution proposée par Patrick Gordon Question A
Nous traitons d'emblée le cas général (2).
Notons D le sommet de la pyramide, I son projeté sur le plan ABC (on a donc DI = h), A' le projeté de I sur BC. Notons encore :
DA' (hauteur de DBC) = ha IA' (distance de I à BC) = fa. La surface du triangle DBC est : ½ a ha.
La surface à minimiser (outre celle du triangle ABC, qui est constante) est, la sommation portant sur a, b, c :
S = ∑ ½ a ha.
Écrivons que dS = 0 (les a étant des constantes) : 1) dS = ½ ∑ a dha = 0.
Mais, dans le triangle rectangle DIA', on a : ha² = h² + fa²
et, comme h est une constante :
ha dha = fa dfa.
En reportant dans (1), il vient : 2) dS = ½ ∑ a fa/ha dfa = 0.
Mais les fa (coordonnées trilinéaires de I par rapport à ABC) sont liées par (expression de la surface du triangle ABC) :
∑ a fa = Cte.
D'où :
3) ∑ a dfa = 0.
En rapprochant (2) et (3), il vient : fa/ha = fb/hb = fc/hc
Mais ces trois rapports sont les cosinus des angles diédraux en BC, CA, AB.
Le minimum (c'en est bien un car, avec D très éloigné, on pourrait avoir une surface totale très élevée) est donc atteint quand ces trois angles diédraux sont égaux.
Or, si les angles diédraux sont égaux, leurs "tan" le sont, donc les fa aussi. Le point I (bien nommé, comme par hasard) est donc le point équidistant des trois côtés, c’est-à-dire le centre du cercle inscrit à ABC.
On notera pour la suite que les ha sont égaux entre eux aussi.
Question B
D'une manière générale, la surface totale minimale S de la pyramide est la somme :
de celle s du triangle de base, soit pr, où p désigne le demi-périmètre (a+b+c)/2 et r le rayon du cercle inscrit à ABC,
de l'aire latérale, soit ph', en notant h' la valeur commune aux ha.
Donc :
4) S = p(r+h').
Or 2p est entier, donc (r+h') doit être entier (et même pair).
Mais r = √ [(p–a) (p–b) (p–c) / p] et h' = √ [r² + h²] et r et h' sont donc tous deux des racines carrées de nombres rationnels. Leur somme ne peut être entière que s'ils sont entiers tous deux (une démonstration rigoureuse est peut-être nécessaire).
Ainsi, r doit être le rayon du cercle inscrit d'un triangle à côtés entiers et de plus être un élément d'un triplet pythagoricien pour que h' = √ [r² + h²] puisse être un entier. On peut
même préciser : le plus petit élément d'un triplet pythagoricien car r est inférieur à tous les côtés de ABC, donc aussi à h (par hypothèse) et donc aussi à h'.
Reste à faire intervenir la limitation donnée par l'énoncé, à savoir que le volume hs/3 du flacon est inférieur à 15 millilitres, soit 15.000 mm3, donc hpr < 45.000, puisque s = pr (toutes les longueurs seront en mm).
Essayons de borner inférieurement hpr en fonction du seul r.
La hauteur h est (par hypothèse) supérieure à tous les côtés du triangle, donc aussi au 1/3 de leur somme, soit h > 2p/3.
Quant à p, il est aussi borné inférieurement par rapport à r. En effet, tous les côtés du triangle ABC sont supérieurs à 2r (valeur atteinte uniquement pour un triangle dégénéré avec un sommet à l'infini), donc p > 3r. On peut même borner p plus strictement car on montrerait aisément que son minimum pour r donné est atteint pour le triangle équilatéral, soit r = a √3/6
= p√3/9, donc p > 3√3 r.
On a donc :
hpr > 2p/3 × 3√3 r × r mais comme p > 3√3 r, cela donne :
hpr > 18 r3
et, comme on a vu que hpr < 45.000, il vient : r3 < 45.000 / 18
soit r < 13.
Les solutions sont donc à rechercher parmi les triplets pythagoriciens dont le plus petit élément est < 13.
Or les triplets pythagoriciens primitifs dont le plus petit élément est < 13 sont :
r h h' 3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41 11 60 61
Cette liste est à compléter par tous les multiples de ces triplets tels que r < 13.
On peut toutefois éliminer des triplets "candidats" en reprenant les inégalités ci-dessus avec cette fois h connu pour chaque valeur de r.
C'est ainsi que l'on s'assurera :
que h est bien supérieur ou égal au plus grand des côtés a b c,
que hpr (triple du volume du flacon pyramidal) est bien inférieur à 45.000.
Comme on l'a vu, tous les côtés du triangle ABC sont supérieurs à 2r. On peut donc éliminer tous les triplets (primitifs, mais cela restera vrai pour leurs multiples) tels que h < 2r.
Quant à hpr, il est bien toujours inférieur à 45.000, mais cette fois, comme on connaît le h qui correspond à tel r donné, on se bornera à écrire que p > 3√3 r et donc :
45.000 > hpr > h × 3√3 r² C’est-à-dire :
hr² < 45.000 / 3√3, soit : 8.660.
Cette contrainte ne joue pas pour les triplets pythagoriciens primitifs listés ci-dessus mais elle joue pour certains de leurs multiples, car le coefficient intervient au cube.
En faisant jouer ces deux filtres, on aboutit à la liste suivante.
r h h'
5 12 13 7 24 25 9 40 41 11 60 61
Pour chaque triplet demeuré possible (et ses multiples acceptables éventuels), il restera à trouver un triangle de côtés entiers a b c inférieurs ou égaux à h, d'aire entière et de rayon du cercle inscrit égal à r. À noter enfin que la valeur de h' sera inutile pour répondre à la question de l'énoncé, qui ne demande pas que l'on exprime la surface totale minimale de la pellicule.
Pour le cas (1) (triangle ABC rectangle), il existe une solution évidente.
Le triangle (3, 4, 5) a pour r : 1. Le même triangle, affecté du coefficient 11, c’est-à-dire (33, 44, 55) a pour r : 11. La valeur de h correspondante est (voir ci-dessus) 60, qui est bien supérieur à a, b et c. Vérifions :
p = 66, r = 11, h = 60. On a hpr = 43.560, qui est bien inférieur à 45.000.
Une solution est donc : a = 33
b = 44 c = 55 h = 60.
La solution homothétique de coefficient 2 n'est pas valable. En effet, hpr est alors multiplié par 8, ce qui donne : 43.560 × 8 = 348.480, qui est supérieur à 45.000.
Pour le cas (2) (triangle ABC quelconque), il faut procéder de manière systématique.
On rappellera que :
(a+b–c) (a–b+c) (–a+b+c) = 4r² (a+b+c)
Si l'on se donne r (lequel, on l'a vu, ne peut prendre que les quatre valeurs 5, 7, 9, 11), a, b et c sont liés par une relation. Si l'on se fixe a et b, l'équation en c qui en résulte est du 3ème degré.
Il est donc plus habile de se fixer seulement a. Il en résulte une relation entre (c+b) et (c-b) dans laquelle on remarque que la somme (c+b) intervient au 1er degré et la différence (c-b) au second degré.
En effet, en posant x = (c+b) et (c-b), il vient : x = (a3 + 4r²a – ay²) / (a² – 4 r² – y²).
Au moyen d'un simple tableur, on essaye successivement r = 5, 7, 9, 11; on rappelle les valeurs correspondantes de h, soit : 12, 24, 40, 60. On dresse quelques colonnes avec les valeurs 1, 2, 3 … de y et on fait varier (manuellement) a de 2r+1 à h. Les valeurs entières de x se remarquent immédiatement. Reste alors à s'assurer que x et y sont de même parité pour en déduire b et c et à s'assurer enfin que a ≤ b ≤ c ≤ h.
On trouve ainsi la solution : r = 9
a = 25 b = 39 c = 40
h = 40 (rappel : on a droit à h=c).
On constate que ce triangle n'est pas isocèle, on s'assure qu'il n'est pas non plus rectangle et, à titre d'ultime vérification, on calcule le triple volume hpr qui vaut 18.720 ce qui est bien inférieur à 45.000.
