A481. L'échantillon doré
Problème proposé par Claudio Baiocchi
La maison de parfums BC décide de lancer un nouveau produit qui, en concurrence avec le bien connu N5, s’appellera HaBC et sera vendu en flacons à forme pyramidale dont la base est un triangle de côtés a, b, c ; (a ≤ b ≤ c) et la hauteur est h ≥ c.
Pour tous les futurs acheteurs qui passeront une commande importante, il est prévu de leur adresser un échantillon dont la surface totale est couverte par une mince pellicule dorée.
Comme les commandes sont plus nombreuses que prévu et que le prix de l’or continue à s’envoler, la maison BC définit la géométrie du flacon qui minimise la surface totale s de la pellicule avec les dimensions a, b, c et h du flacon.
Déterminer la forme exacte du flacon dans les deux cas suivants : 1) le triangle (a, b, c) est rectangle,
2) le triangle (a, b, c) est quelconque.
Pour les plus courageux : sachant que la contenance du flacon est inférieure à 15 millilitres, que les dimensions a, b, c et h s’expriment en nombres entiers de millimètres (mm) et que la surface totale minimale de la pellicule s’exprime avec un nombre entier de mm², trouver dans les deux cas 1) et 2) les dimensions a, b, c et h d’un flacon qui respecte ces contraintes.
Solution proposée par Paul Voyer:
1) Triangle rectangle
La base a pour sommets O(0,0), A(a>0,0), et B(0,b>0) et a²+b²=c² Le sommet a pour coordonnées C(x<a, y<b, z=h=c)
Triangle OAB : aire=ab
Triangle COA : aire= ² ²
2 h y
a
Triangle COB : aire= ² ²
2 h x
b
Segment AB : équation 10 b
y a
x ou bx+ay-ab=0
distance de la projection de C à AB =
c ay bx ab
Hauteur du triangle CAB=
²
²
² )² (
c
c h by bx
ab
Triangle CAB : aire=
2
²
² )² (abbxay h c
La surface dorée S est
² ² ² ² ( )² ² ²
2
1 aba h y b h x abbxay h c Sa dérivée en x et en y doit être nulle à l'optimum.
x
S
²
² )² (
²
² ab bx ay h c
ay bx ab b x
h bx
² ²²
² )²
(ab bx ay h c ab bx ay h x
x , et de même :
² ²²
² )²
(ab bx ay h c ab bx ay h y
y .
On en tire :
²²
²c ab bx ay
x h
²²
²c ab bx ay
y h
y=x
xc=ab-(a+b)x c r b a y ab
x
On reconnaît la formule du rayon r du cercle inscrit dans un triangle rectangle.
Le sommet C est à l'aplomb du centre du cercle inscrit du triangle base.
La pente des 3 plans COA, COB et CAB est la même.
2) Triangle quelconque
Le résultat précédent suggère que le sommet C se trouve là encore à l'aplomb du centre du cercle inscrit au triangle base.
Le déplacement élémentaire qui était [dx, 0] ou [0, dy], est ici encore parallèle aux côtés du triangle base. Il conduit, après quelques calculs fastidieux, au résultat prévu, valable pour les 4 sommets/plans du tétraèdre.
Les 4 hauteurs du tétraèdre sont alors concourantes au centre de la sphère inscrite.
