A481 - L’échantillon doré
Problème proposé par Claudio Baiocchi
La maison de parfums BC décide de lancer un nouveau produit qui, en concurrence avec le bien connu N5, s’appellera HaBC et sera vendu en flacons à forme pyramidale dont la base est un triangle de côtés a,b,c; (a <= b <= c) et la hauteur est h > = c.
Pour tous les futurs acheteurs qui passeront une commande importante, il est prévu de leur adresser un échantillon dont la surface totale est couverte par une mince pellicule dorée.
Comme les commandes sont plus nombreuses que prévu et que le prix de l’or continue à s’envoler, la maison BC définit la géométrie du flacon qui minimise la surface totale s de la pellicule avec les dimensions a,b,c et h du flacon.
Déterminer la forme exacte du flacon dans les deux cas suivants : 1)le triangle (a,b,c) est rectangle,
2)le triangle (a,b,c) est quelconque.
Pour les plus courageux : sachant que la contenance du flacon est inférieure à 15 millilitres, que les dimensions a,b,c et h s’expriment en nombres entiers de millimètres (mm) et que la surface totale minimale de la pellicule s’exprime avec un nombre entier de mm², trouver dans les deux cas 1) et 2) les dimensions a,b,c et h d’un flacon qui respecte ces contraintes.
La projection orthogonale du sommet de la pyramide est un point intérieur au triangle de base, distant de u, v, w respectivement des cotés de longueurs a, b, c, avec au+bv+cw=2S, si S est la surface de la base.
Les faces latérales ont pour hauteurs respectives ha, hb, hc , et pour surfaces sa=aha/2, sb=bhb/2, sc=chc/2, avec ha2=a2+u2, hb2=b2+v2 , hc2=c2+w2. Donc s=S+sa+sb+sc. En différentiant, on obtient
ds=a*u*du/2ha+b*v*dv/2hb+c*w*dw/2hc ; or a*du+b*dv+c*dw=0, donc pour u=v=w, qui entraine ha=hb=hc , ds=0 : la surface passe par un minimum lorsque le sommet de la pyramide est à la verticale du centre du cercle inscrit u=v=w=r.
Si le triangle de base est rectangle, le rayon du cercle inscrit d’un triangle
pythagoricien est entier : en effet s’il existe deux entiers m et n tels que a=m2-n2, b=2mn, c=m2+n2, p=(a+b+c)/2=m(m+n), et r2=(p-a)(p-b)(p-c)/p=n2(m-n)2 . Ainsi le triangle 3,4,5 a un cercle inscrit de rayon r=1 ; r et h sont également les cotés d’un triangle pythagoricien avec h≥c donc h/r≥c/r=5. Le triangle 11,60,61 a un rapport grand coté sur petit coté supérieur à 5, donc a=33, b=44, c=55 , h=60 convient avec r=11, s=p(√(h2+r2)+r)=66*72=4752 mm2 et
V=S*h/3=14520 mm3.
Si le triangle de base est quelconque, les rapports r/(p-a), r/(p-b), r/(p-c) sont les tangentes des angles moitiés : les valeurs les plus simples sont 1/2, 1/2 et 3/4, obtenues avec a=10, b=10, c=12 pour r=3. Ici c/r=4, et le triangle 9,40,41 a un rapport h/r>4; a=30, b=30, c=36, h=40 convient avec r=9, p=48, s=2400 mm2, V=5760 mm3.
