MPSI B Année 2018-2019 Énoncé DM 3 pour le 12/10/18 6 octobre 2019
Exercice 1
On veut exprimer une suite (a
k)
k∈N
de nombres entiers telle que :
∀n ∈ N : n! =
n
X
k=0
n k
a
k.
On convient que 0! = 1 .
1. Calculer a
0, a
1, a
2, a
3, a
4et justier l'existence de cette suite d'entiers.
2. Soit k et n entiers naturels tels que k < n , soit z ∈ C, montrer que
X
m∈Jk,nK
m k
n m
z
m=
n k
(1 + z)
n−kz
k.
On pourra exprimer
mk n muniquement avec des factorielles et les réorganiser.
3. Soit n un entier naturel non nul et T l'ensemble des couples (m, k) d'entiers naturels tels que 0 ≤ k ≤ m ≤ n . Des nombres réels t
m,ksont donnés pour tous les (m, k) ∈ T . Préciser les intervalles d'entiers auxquels doivent appartenir k et m dans les expressions
X
(m,k)∈T
t
m,k= X
m∈?
X
k∈?
t
m,k!
= X
k∈?
X
m∈?
t
m,k! .
4. Montrer que
(−1)
na
n= X
m∈J0,nK
m!
n m
(−1)
m.
Exercice 2
Dans cet exercice, a , b , c appartiennent à C \ {0, −1, 1} et sont deux à deux distincts.
1. Question de cours.
Soit A , B , C , D , λ , µ des nombres complexes. On considère le système d'équation aux inconnues u et v
( Au + Bv = λ Cu + Dv = µ
Quand dit-on que ce système est de Cramer ? Dans ce cas donner l'unique couple solution exprimé avec les formules de Cramer.
2. On considère le système S
0aux inconnues u et v .
S
0:
1
ab u + 2
(a + 1)(b + 1) v = 1 1
ac u + 2
(a + 1)(c + 1) v = 1
Montrer que ce système est de Cramer et calculer son unique couple solution.
3. Résoudre le système aux inconnues x , y , z
S :
x a − 1 + y
a + z a + 1 = 1 x
b − 1 + y b + z
b + 1 = 1 x
c − 1 + y c + z
c + 1 = 1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
