Un point de rencontre bien connu
Problème D175 de Diophante
Démontrer qu'il est toujours possible de tracer au moins une ligne droite (L) qui partage un triangle scalène ABC en deux polygones de même périmètre et de même aire.
Le cercle inscrit du triangle touche BC en P. On trace la droite (L') qui passe par les milieux de AP et de BC. Déterminer le point de rencontre des deux droites (L) et (L').
Solution
Comme bien souvent, Diophante pose une seule question alors qu’il y a deux problème à résoudre :
1 - montrer que la droite (L) passe par le point I (centre du cercle inscrit dans le triangle ABC) ;
2 - montrer que la droite (L’) passe par le point I.
1 - Supposons que la droite (L) existe. Alors elle passe par I. En effet, les deux surfaces verte et jaune ont même aire car tous les triangles marqués ont même
hauteur (le rayon du cercle inscrit).
(L)
I A
B C
Pour prouver que (L) existe, considérons un axe (A) passant par I. Il découpe deux parties U à droite et V à gauche d’aires u et v. Si u ≠ v faisons faire à (A) un demi-tour de manière continue. A la fin de ce demi-tour, l’aire de la partie droite vaudra v et l’aire de la partie gauche vaudra u. D’après le théorème des valeurs
intermédiaires, les aires des deux parties séparées par (A) seront égales (au moins une fois) et, en divisant par le rayon du cercle inscrit, les bords communs avec le bord du triangle seront égaux.
2 - Pour montrer que la droite (L’) passe par le point I, à la figure (en noir) de l’énoncé, ajoutons (en rouge) : le cercle exinscrit dans l’angle A qui tangente BC en Q et le segment AQ puis rappelons que BP = QC = p – b, avec les notations
classiques.
Notons R le point diamétralement opposé à P sur le cercle inscrit. Ce point est homothétique de Q dans l’homothétie de centre A, qui amène le grand cercle sur le petit. Ainsi les trois points A, R et Q sont alignés. Il en va de même pour N, I et M, qui sont leurs images dans l’homothétie de centre P de rapport 1/2.
A
I
C P
B M
N
(L’) R
Q
En conclusion, les droites (L) et (L’) se coupent en I.
