D605-Construction d’un triangle dont on connaît les hauteurs. Solution Soient a, b et c les côtés du triangle à construire et S sa surface. 1

D605-Construction d’un triangle dont on connaît les hauteurs.

Solution

Soient a, b et c les côtés du triangle à construire et S sa surface.

1^er cas :

Avant de se lancer dans la construction, il faut préalablement vérifier qu’elle est possible.

On a les trois relations qui expriment que le double de la surface est égal au produit de chaque côté par la hauteur issue du sommet opposé à ce côté.

D’où 2S = 4a = 7b = 10c. Il en résulte b = 4a/7 et c = 2a/5 et on constate que b + c = 4a/7 + 2a/5 = 34a/35 < a. Le triangle ne peut donc pas être construit.

2^ème cas :

Cette fois-ci on a 2S = 5a = 7b = 11c et la construction est possible car b + c = 5a/7 + 5a/11 = 90a/77 >a.

La formule d’Héron qui donne l’aire du triangle en fonction des côtés a,b et c permet d’écrire c)

- b).(p - a).(p - p.(p

S avec p=(a+b+c) / 2. Or p = 167a / 154. D’où

2 2/154 .a 97 167.13.57.

S =5a/2.

Il en résulte a59290/ 167.13.57.97= 17,11308248… b = 12,22363035…

c=7,778673857….

Si l’on dispose d’une règle graduée la construction du triangle de côtés a,b et c est donc immédiate. En son absence, on peut également réaliser la construction en observant qu’avec la relation 2S = 5a = 7b = 11c, les côtés sont inversement proportionnels aux hauteurs sur

lesquels elles sont projetées. Par conséquent si l’on construit un triangle T dont les côtés sont ₁ égaux aux dimensions 5,7 et 11 des hauteurs, les hauteurs de T sont proportionnelles à 1/5, ₁ 1/7 et 1/11. Si on construit une deuxième triangle T dont les côtés sont égaux aux hauteurs ₂ précédemment déterminées, les hauteurs de ce triangle T sont proportionnelles à 5,7 et 11. ₂ Le triangle T est donc semblable au triangle T recherché. ₂

D’où la construction en 3 étapes résumées en 2 figures :

1^ère figure : construction du triangle dont les côtés sont égaux à 5,7 et 11 et détermination des hauteurs correspondantes h₁,h₂et h₃ (en rouge, vert et bleu).

2^ème figure :construction du petit triangle A’B’C en bas à gauche dont les côtés sont égaux à

3 2 1,h et h

h . Puis on trace la parallèle à B’C d’altitude 5 qui coupe A’C en A. De A on mène la parallèle à A4B’ qui coupe B’C en B.

Le triangle ABC répond à la question et ses trois hauteurs sont bien égales respectivement à 5,7 et 11.