L1 MIPI 18 Juin 2019
Examen de Fonctions d’une variable r´eelle - Session 2
Dur´ee: 1h30. Aucun document ni calculatrice autoris´e.
Les t´el´ephones portables sont INTERDITS et doivent ˆetre ETEINTS.
Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme faux.
Exercice 1(Questions de cours, 2pts).
a)Soitf :R→Ret`∈R. Donner la d´efinition, avec les quantificateurs, de lim
x→+∞f(x) =`.
b)Enoncer le th´eor`eme de Rolle.
Exercice 2(5pts).
a)Rappeler, sans justification, les limites suivantes: lim
x→0
ln(1 +x)
x et lim
x→0
sin(x) x . b)Calculer, si elles existent, les limiteslim
x→0
ln(1 + 4x) 2x et lim
x→0
ln (1 + 4 sin(x))
2x .
c)Montrer que la fonctionf(x) = ln
1 +sin(x) 2
est d´efinie surRet calculer sa d´eriv´ee.
Exercice 3(4pts).
a)Rappeler les d´eveloppements limit´es en0`a l’ordre3des fonctionsexetsin(x).
b)D´eterminer un d´eveloppement limit´e en0 `a l’ordre3de la fonctionexsin(x).
c)Calculer, si elle existe, la limite lim
x→0
exsin(x)−x−x2
x3 .
Exercice 4(4pts). Pour chacune des affirmations suivantes dire si elle est vraie ou fausse. Justifier votre r´eponse (lorsque la r´eponse est fausse, on pourra juste donner un contre-exemple).
a)Sif : [0,1]→Rest continue alorsfprend une fois et une seule fois toute valeur comprise entref(0)etf(1).
b)Sif : [0,1]→Rest continue alorsf prend au moins une fois tout valeur comprise entref(0)etf(1).
c)Sif : [0,1]→Rest continue et strictement croissante alorsfprend une fois et une seule fois toute valeur comprise entref(0)etf(1).
d)Sif : ]0,1]→Rest continue alorsf est born´ee.
Exercice 5(5pts). SoientE, F deux ensembles etf :E→F une application.
a)SoientA⊂EetB ⊂F. Donner les d´efinitions des ensemblesf(A)etf−1(B).
b)SoitA⊂E. Montrer queA⊂f−1 f(A) . c)SoitB ⊂F. Montrer quef f−1(B)
⊂B.
d) Dans cette question on prend E = F = R, f : R → R d´efinie par f(x) = x2, A = [−1,2] et B = [−4,9]. D´eterminer les ensemblesf(A),f−1 f(A)
,f−1(B)etf f−1(B)
. Que peut-on en d´eduire quant aux questions b) et c)?
