Université de Cergy-Pontoise - Licence L3-S5 - Session 1 - Mercredi 14/12/2016
Examen - Séries de Fourier et Analyse Complexe
Durée: 3h00 - Documents, calculatrice, ordinateur et téléphone portable ne sont pas autorisés.
Les 4 exercices sont indépendants.
Exercice I
Soit f :R→R la fonction 2π périodique dénie par f(x) =x pour x∈]−π, π].
1) Tracer rapidement le graphe de f. Montrer que f est C1 par morceaux sur R. Quels sont les points de discontinuité de f ?
2) Pour n ≥1, on note an le coecient de cosnx, a0/2 le coecient constant et bn le coecient de sinnx dans la série de Fourier de f. Que vaut an pour n≥0 ? Calculer bn pourn ∈N∗.
3) Justier, pour tout x∈]−π, π[, l'égalité f(x) =
+∞
X
n=1
2(−1)n−1
n sin(nx).
Par quoi faut-il remplacer le membre de gauche pour que l' égalité ci-dessus reste valable pourx=π? 4) En utilisant l'égalité obtenue à la question 3), calculer la somme S =
+∞
X
k=0
(−1)k 2k+ 1. 5) À l'aide de l'identité de Parseval pour f, montrer que
+∞
X
n=1
1 n2 = π2
6 .
Exercice II
Pour (x, y)∈R2, on pose Q(x, y) = sh(y) sin(x). Soit P :R2 →R une fonction diérentiable sur R2 telle que la fonctionf :C→C dénie parf(z) =P(x, y) + i Q(x, y) siz =x+iy, soit holomorphe surC.
1) Calculer les dérivées partielles ∂Q
∂x et ∂Q
∂y.
2) Écrire les relations qui lient les dérivées partielles ∂P
∂x, ∂P
∂y, ∂Q
∂x et ∂Q
∂y. 3) En utilisant l'expression de ∂P
∂x, en déduire qu'il existe une fonction dérivablec:R→Rtelle que P(x, y) = −ch(y) cos(x) +c(y) pour tout(x, y)∈R2.
4) En calculant ∂P
∂y, montrer que la fonction c est constante sur R. En déduire qu'il existe C ∈ R tel que la fonction f soit donnée par
∀z ∈C, f(z) = −ch(y) cos(x) +C+ish(y) sin(x).
5) Conclure, en montrant que f(z) =−cos(z) +C pour toutz ∈C.
(on pourra utiliser la relation entre chy et cos(iy) et celle entre shy et sin(iy))
Exercice III
On note D={z ∈C| |z|<1} le disque unité ouvert deC. Pour z∈D, on pose h(z) = 3z2 1 +z3. 1) Résoudre enC l'équationz3 =−1. Préciser le domaine de dénition et celui d'holomorphie deh. 2) Montrer qu'il existe une série entière
+∞
X
n=0
anzn de rayon de convergence 1, que l'on précisera, telle que l'on ait h(z) =
+∞
X
n=0
anzn pour chaque z ∈D.
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3) Etudier la convergence de la série
+∞
X
n=0
anzn sur la frontière ∂D={z∈C| |z|= 1}. 4) Pourz ∈D, on pose g(z) =
+∞
X
n=1
an−1
n zn. Montrer que g est holomorphe sur D et calculer g0(z) pourz ∈D.
5) Pourz ∈D, on pose φ(z) = eg(z)
1 +z3. Montrer que la dérivée de la fonction φ(z) vérieφ0(z) = 0 pourz ∈D. Calculer φ(0), et en déduire que
∀z ∈D, eg(z) = 1 +z3.
6) On note "Log" la détermination principale du logarithme complexe. Soit f(z) = Log(1 +z3). Pour quels z ∈C a t-onz3 ∈]− ∞,−1]? En déduire l'ouvert maximal Ω⊆C sur lequelf est holomorphe. Ω est-il convexe ? Est-il connexe ? Faire un dessin et justier vos réponses.
7) Calculer (f−g)0(z) pourz ∈D. En déduire que ∀z ∈D, f(z) = g(z).
Exercice IV
On dénit la fonction f par f(z) = eiz
(z+b)2+a2 oùa >0et b∈R.
1) Montrer qu'il existe (α+, α−)∈C2, avec Im(α+)>0, à préciser, tels quef soit holomorphe sur C\ {α+, α−}. Vérier que α+ =α−.
2) PourR > a2+b2, soit CR+ le demi-cercle supérieur de centre 0et de rayon R déni par CR+ ={z ∈C | |z|=R et Im(z)>0}
et soit γR le lacet constitué du segment réel [−R, R]suivi de CR+ parcouru une fois dans le sens trigonométrique direct. Notons ΩR l'ouvert borné de Cdont la frontière est γR.
a) Représenter sur une gure γR et les points α±. b) Montrer quef(z)s'écrit comme g(z)
z−α+, où g est une fonction holomorphe sur C\ {α−}. c) En déduire à l'aide de la formule de Cauchy queI
γR
f(z)dz = πe−a
a (cos(b)−isin(b)). d) En utilisant le théorème des résidus, en déduire que le résidu de f enα+ vaut
Res (f;α+) =−e−a
2a (sin(b) +icos(b)).
3) On se propose de retrouver Res (f;α+)en partant de sa dénition.
a) Donner les développements en série entière enα+ de z7→eiz et dez 7→(z−α−)−1. b) En déduire le premier terme du développement en série entière deg autour de α+.
c) En déduire la partie principale (singulière) du développement en série de Laurent de f en α+. Sur quelle couronne centrée en α+ ce développement est-il déni ? Justier votre réponse.
d) Retrouver ainsi la valeur de Res (f;α+) calculée précédemment.
