Examen d’analyse de Fourier et analyse complexe

L3 - S1 - 2014-2015 - Session 2 : 24 Juin 2015

Examen d’analyse de Fourier et analyse complexe

Durée:2heures; le barème est donné à titre indicatif On rappelle: 1) la forme canonique d’une série trigonométrique: ¹₂a₀+P∞

1 (a_ncos(nx) +b_nsin(nx) (formulation réelle). 2)2 sinacosb = sin(a+b) + sin(a−b).

Exercice 1 :

1.a)Soitz ∈C^∗ vérifiantz+1

z = 1. Montrer qu’on a alors aussiz²⁰¹⁵+ 1

z²⁰¹⁵ = 1.

1.b)Donner la série de Fourier def :R→R,f(x) = sinxcos(2015x). Est-elle convergente surR? (Indication: la solution doit tenir sur une ligne. Expliquer pourquoi n’a-t-on pas besoin de calculer les coefficientsa_netb_n)

Exercice 2 :

Soitf :R→Rla fonction définie parf(x) =|sinx|.

1)Montrer quef est paire et2π-périodique surR. Déterminer la série de Fourier def.

(Indication: lors du calcul des coefficients de Fourier, on pourrait distinguer entre les cas de figure:n pair /nimpair)

2)Justifier, pour toutx∈R, l’égalité π

2|sinx|= 1 +

∞

X

n=1

1

2n+ 1 − 1 2n−1

cos(2nx).

3)Montrer que

m

X

n=1

1

2n−1 − 1 2n+ 1

= 1− 1 2m+ 1. 4)En déduire que|sinx|= 8

π

∞

X

n=1

sin²(nx)

4n²−1 pour toutx∈R.

Exercice 3 :

1)Soitz₀ ∈Cet deux fonctionsg, h:C→Ctelles quegethsont holomorphes surCetg(z₀)6= 0, h(z₀) = 0eth⁰(z₀)6= 0. Soitf = g

h.

1.a)Montrer qu’il existe une fonctionehholomorphe surCtelle que∀z ∈C,h(z) = (z−z0)eh(z), et qu’on ah⁰(z₀) =eh(z₀).

(Indication: developpement de Taylor dehenz₀)

1.b)En déduire que le résidu def enz0 est donné par Res(f;z0) = g(z0)/h⁰(z0).

(Indication: developpement de Laurent def enz₀)

2)On se propose de calculer par la méthode des résidus l’intégrale: I = Z ∞

−∞

cosx

x² + 2x+ 2dx.

Pour R ≥ 2 on considère le chemin ferméΓ_R dans le demi-plan complexe {z ∈ C | Imz ≥ 0}, parcouru dans le sens trigonométrique, formé du segmentγR= [−R, R]sur l’axe des abscisses et du demi-cercleC_Rcentré à l’origine et de rayonR. Soitf(z) = e^iz

z²+ 2z+ 2.

2.a) Calculer les pôles de f et donner leur ordre de multiplicité (faire un dessin representant les pôles def et le cheminΓ_R).

2.b)Calculer Z

ΓR

f(z)dz. (Indication: on pourrait utiliser la question (1.b)) 2.c)Montrer que lim

R→∞

Z

CR

f(z)dz = 0.

(Indication: on pourrait montrer que le module de l’intégrale est majoré parπR/(R−1)²) 2.d)En déduire la valeur deI.

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Exercice 4 :

1)Soitf : C →Ctelle que, vue comme application deR² dansC, elle est de classeC¹. On définit les "opérateurs différentiels"∂ = 1

2 ∂

∂x −i ∂

∂y

et∂ = 1 2

∂

∂x +i ∂

∂y

.

Sif =u+iv, rappeler les conditions de Cauchy-Riemann et montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pourf d’être holomorphe en unz0 ∈Cest(∂f)(z0) = 0.

2)Soitf :C→C,f(z) = z²−z²+|z|².

2.a)Caculer les expressions des fonctionsuetv correspondant à cette fonction.

2.b) Calculer ∂f en un z arbitraire du plan complexe. En déduire que le seul point où f est dérivable estz0 = 0.

(Indication: on pourrait utiliser la question 1)

2.c) f est-elle développable en série entière sur un disque ouvert de centre z₀ = 0 et de rayon r= 1? Justifiez votre réponse.

2.d)Calculer la dérivéef⁰ enz₀ = 0à l’aide de la définition.

2.e)Vérifier qu’on obtient le même résultat en calculant la valeur de∂f enz₀ = 0.