Analyse de Fourier

ENS Cachan Mathématiques

Préparation à l’agrégation Année 2015/2016

Analyse de Fourier

Arthur Leclaire

Références

[Bon] J.M. Bony. Théorie des Distributions et Analyse de Fourier.

Éditions de l’École Polytechnique, 2006.

[DW] R. Dalmasso et P. Witomski.

Analyse de Fourier et Applications. Exercices corrigés. Masson, 1996.

[E] R.E. Edwards. Fourier Series : A Modern Introduction. Rinehart and Winston, 1967.

[GW] C. Gasquet et P. Witomski. Analyse de Fourier et Applications. Dunod, 2001.

[H] L. Hörmander. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Springer, 1983.

[Ka] Y. Katznelson. Introduction to harmonic analysis. John Wiley and sons, 1968.

[Kö] T.W. Körner. Fourier Analysis. Cambridge University Press, 1988.

[Rud] W. Rudin. Analyse Réelle et Complexe. Masson, 1975.

[ZQ] C. Zuily et H. Queffélec. Analyse pour l’agrégation. Dunod, 2007.

Les deux premiers chapitres du livre [Ka] présentent de manière concise l’essentiel de ce qu’il faut savoir sur les séries de Fourier (et même un peu plus). Le cours est aussi résumé dans [ZQ] avec des exemples et thèmes d’étude pertinents. Le livre [E] est beaucoup plus dé- taillé, mais un peu moins accessible. Enfin, le livre [Kö] est moins exhaustif, mais peut-être plus accessible.

On trouvera une bonne introduction à la transformée de Fourier dans [Bon] (qui est assez orienté vers la théorie des distributions mais qui explique de manière limpide les applications aux équations aux dérivées partielles). Si l’on veut se limiter à la transformée de Fourier surL¹ etL², on pourra consulter [Rud], et on trouvera dans [ZQ, Ch.9, §4] le complément sur la classe de SchwartzS. Pour aller plus loin, on pourra consulter [Ka] et [H] (le deuxième étant vraiment très spécialisé). Pour terminer, le livre [GW] (malheureusement épuisé) donne un éclairage bienvenu sur les aspects pratiques de l’analyse de Fourier, en explorant notamment les liens avec le traitement de signal. Le livre compagnon [DW] contient de nombreux exercices corrigés pertinents.

On prendra garde (notamment le jour de l’oral) à éviter les confusions dues aux différentes normalisations qui existent dans la littérature pour la définition des séries de Fourier et de la transformée de Fourier.

Table des matières

1 Convolution 3

1.1 Convolution surR^d . . . 3

1.2 Convolution surT . . . 5

2 Séries de Fourier 6 2.1 Généralités . . . 6

2.2 Convergence des Séries de Fourier . . . 9

2.3 ThéorieL² . . . 14

2.4 Calculs et Premières Applications . . . 15

2.5 Analyse de Régularité . . . 18

2.6 Équation de la Chaleur surT . . . 23

3 Transformée de Fourier 24 3.1 Transformée de Fourier surL¹(R^d) . . . 24

3.2 Transformée de Fourier surS(R^d) . . . 26

3.3 Transformée de Fourier surL²(R^d) . . . 27

3.4 Calculs et Applications . . . 28

3.5 Équation de la Chaleur surR^d . . . 33

3.6 Quelques Mots sur les Distributions Tempérées . . . 34

Notations

On note T = R/2πZ que l’on munit de la mesure de Lebesgue renormalisée µ(dx) = ^dx_2π. On rappelle qu’une fonction f :T →Cs’identifie à une fonction 2π-périodique définie surR. Ainsi les éléments deC(T) s’identifient à des fonctions f : R → Ccontinues 2π-périodiques.

De plus,L^p(T)est un espace de Banach pour la norme kfk_p = 1

2π Z 2π

0

|f(x)|^pdx

!1/p

(p < ∞) , kfk_∞ = inf{M >0| |f| 6 M p.p. }. On notera aussiC^k(T) l’ensemble des fonctions 2π-périodiques f : R → Cde classeC^k. On dira qu’une fonction 2π-périodiquef :R→CestC^k par morceaux s’il existe une subdivision

0= x0 < x1 < . . . < x_p =2π telle que pour tout 0 6 j < p, f|]xj,x_j+1[admette un prolongement

à [x_j,x_j+1] de classeC^k.

On noterac₀(Z) l’ensemble des suites(u_n) ∈C^Zqui admettent pour limite 0 en−∞et+∞. Enfin, on noteraP le sous-espace vectoriel deC(T) engendré par les fonctions

e_n:t 7−→e^int (n ∈Z) . AinsiP est l’ensemble des polynômes trigonométriques.

On utilisera la notation ˇf(x) = f(−x).

1 Convolution

1.1 Convolution sur R

Pour cette partie, on renvoie à [BP] et [Br].

Définition 1. Soient f,д : R^d → C deux fonctions mesurables. Lorsque cela a un sens, on définit laconvolution f ∗дde f etдpar

f ∗д(x) =Z

R^d

f(y)д(x−y)dy .

Si cette intégrale existe, on a immédiatement f ∗д(x) =Z

R^d

f(x−y)д(y)dy =д∗f(x) .

Théorème 1. Soientp,q ∈[1,∞]des exposants conjugués (i.e. _p¹ + _q¹ =1).

1. Sif ∈L¹(R^d)etд ∈L¹(R^d), alorsf ∗д(x)existe pour presque toutxet définitf ∗д ∈L¹(R^d) qui vérifie

kf ∗дk₁ 6 kfk₁kдk₁.

2. Sif ∈L¹(R^d)etд ∈L^p(R^d), alorsf∗д(x)existe pour presque toutxet définitf ∗д∈L^p(R^d) qui vérifie

kf ∗дk_p 6 kfk₁kдk_p .

3. Si f ∈L^p(R^d) etд ∈L^q(R^d), alors f ∗д(x) existe pour toutxet définit f ∗д ∈L^∞(R^d)qui vérifie

kf ∗дk_∞ 6 kfk_pkдk_q .

De plus, f ∗дest uniformément continue. Enfin, si1 <p < ∞, alors lim

|x|→∞f ∗д(x) =0.

Remarque 1.

·Le premier point de ce théorème assure que(L¹(R^d),+,∗)est une algèbre de Banach. On verra plus loin que cette algèbre n’admet pas d’unité.

·Plus généralement, sip,q,r ∈[1,∞] sont tels que_p¹+ _q¹ = 1+_r¹, si f ∈L^p(R^d)et siд∈L^q(R^d), alors f ∗дest définie dansL^r(R^d)avec kf ∗дk_r 6 kfk_pkдk_q (c’est l’inégalité de Young).

Exercice 1.Prouver les différents points du Théorème 1.

ladensité

C de

( c d R ) L dans ( p d R ) lorsque p

<

. ∞

Pourla findu troisième point

(unp euplus dure),

onp ourrautiliser

Pourle deuxièmep

oint,on pourra supposer

f k k

= 1

1et utiliserl’inégalité

deJensen.

Exercice 2. 1.Montrer que siA⊂ Rest de mesure de Lebesgue>0, alors A−A= {x−y ; x,y ∈A}

contient un voisinage de 0 (on pourra considérer1_A∗1_−A).

2.Soit f :R→Rmesurable telle que f(x+y) = f(x)+ f(y) pour tousx,y ∈R. a.Montrer que f est bornée sur un voisinage de 0.

b.Montrer quef est continue en 0.

c.Montrer que f est linéaire.

Théorème 2. Si f : R^d → C est localement intégrable, et si α : R^d → R est de classe C^k et à support compact, alorsα ∗ f est définie partout et de classe C^k sur R^d. De plus, pour tout multi-indicej de poids6k, on a

∂^j(α ∗f) = (∂^jα)∗ f .

En particulier, si(α_n)est une suite régularisante, alors les fonctionsα_n∗ f sontC^∞.

Définition 2. On appelleapproximation de l’unitéune suite(α_n)_n>1de fonctions mesurables positives surR^d, d’intégrale 1 et telles que

∀δ >0, Z

|x|>δα_n(x)dx −−−−→

n→∞ 0.

Cette définition est la même que celle de [BP] mais se limite au cas de fonctions à valeurs positives.

Proposition 1. Siα :R^d →R+est mesurable d’intégrale 1, alors α_n(x) =n^dα(nx)

définit une approximation de l’unité. Autrement dit, on obtient une approximation de l’unité en renormalisant n’importe quelle densité de probabilité.

Théorème 3. Soit(α_n)une approximation de l’unité.

1. Si f ∈Cb(R^d), alorsα_n∗ f converge vers f uniformément sur les compacts.

2. Sip <∞et f ∈L^p(R^d), alorsα_n∗ f converge vers f dansL^p(R^d).

Remarque 2. On prendra garde au fait que les preuves habituelles du point 2 s’appuient sur la densité deCc(R^d) dansL^p(R^d) pourp < ∞.

Définition 3. Unesuite régularisanteest une approximation de l’unité composée de fonc- tionsC^∞à supports compacts.

Un des exercices du TD d’analyse fonctionnelle montre l’existence de suites régularisantes ; rappelons que cela revient à montrer l’existence d’une fonction bosseC_c^∞(R^d).

Théorème 4. SiΩ ⊂ R^d est ouvert etp <∞, alorsC_c^∞(Ω)est dense dansL^p(Ω).

1.2 Convolution sur T

Définition 4. Soientf,д:T→Cdeux fonctions mesurables. Lorsque cela a un sens, on définit laconvolution(sur le cercle) f ∗дde f etдpar

f ∗д(x) = Z

T

f(y)д(y−x)µ(dy) = 1 2π

Z _2π

0

f(y)д(x−y)dy .

Ainsi, il y une notion de convolution pour les fonctions 2π-périodiques surR. Cette notion est bien différente de celle définie dans le paragraphe précédent. Néanmoins, certaines des pro- priétés vont persister. Par exemple, les inégalités de convolution présentées dans le Théorème 1 s’adaptent immédiatement au cas du cercle. On notera que dans le cas du cercle, la situation est même plus simple car,Tétant compact de mesure finie, on a

∀p ∈[1,∞], C(T) ⊂ L^p(T) ⊂ L¹(T) .

L’inégalité la plus importante dans ce cas est donc celle obtenue pourL¹(T)que nous répétons ici : si f,д∈L¹(T), alors f ∗дest définie presque partout avec

kf ∗дk₁ 6 kfk₁kдk₁.

Théorème 5. Si f ∈L¹(T) et siд ∈C^k(T), alors f ∗д ∈C^k(T) et pour tout entierj 6k, (f ∗д)^(j) = f ∗д^(j) .

Définition 5. On appelleapproximation de l’unité sur le cercleune suite(α_n)_n>1de fonc- tions mesurables positives surT, d’intégrale 1 et telles que

∀δ > 0, Z

[−π,π]\[−δ,δ]

α_ndµ −−−−→

n→∞ 0.

Là encore, les approximations de l’unité sur le cercle sont données par des fonctions 2π- périodiques. Il ne faut donc en aucun cas confondre avec la notion d’approximation de l’unité développée dans le paragraphe précédent.

Théorème 6. Soit(α_n) une approximation de l’unité sur le cercle.

1. Si f ∈C(T), alorsα_n∗ f converge vers f uniformément surT. 2. Sip <∞et f ∈L^p(R^d), alorsα_n∗ f converge vers f dansL^p(R^d).

En couplant ce résultat avec le Théorème 5, on obtient que si f ∈ C^k(T), alors pour tout entierj 6k,(α_n∗ f)^(j) converge uniformément vers f^(j).

2 Séries de Fourier

2.1 Généralités

Définition 6. Soient f ∈L¹(T),n ∈Z. Len-ièmecoefficient de Fourierde f est défini par c_n(f) = 1

2π Z _2π

0

f(x)e^−inxdx = Z

T

f e_ndµ . Lasérie de Fourierassociée à f est alors la série de fonctions

X

n∈Z

c_n(f)e^inx , la somme surZsignifiant lim

N→+∞S_Nf(x), où les sommes partielles sont données par S_Nf(x) =

XN n=−N

c_n(f)e^inx .

Bien entendu, nous ne savons pasa priorisi cette série converge, et ce sera l’une des questions cruciales étudiées dans la suite. On notera aussi

σ_Nf(x) = 1 N

N−1X

k=0

S_kf(x)

les sommes de Césaro associée à la suite(S_Nf(x))_N∈N.

Rappelons que(e_n)_n∈Zest une famille orthonormale deL²(T). La série de Fourier peut donc se voir comme la décomposition d’une fonction sur cette famille libre.

Proposition 2. Soient f ∈L¹(T),a ∈R, etn ∈Z. alors on a 1. c_n(fˇ) =c_−n(f) où l’on a noté fˇ(x) = f(−x) ,

2. c_n(f¯) =c_−n(f) ,

3. c_n(τ_af) =e^−inac_n(f)où l’on a notéτ_af(x) = f(x−a) , 4. Si f =X

n∈I

c_ne_navecI ⊂ Zfini (i.e. f ∈ P), alorsc_n(f) =c_n .

Remarque 3. Ces propriétés entraînent certaines symétries dans les coefficients de Fourier pour des fonctions particulières. Par exemple, si f est à valeurs réelles, alorsc_−n(f) = c_n(f). Aussi, sif est paire, alorsc−n(f) =c_n(f)ce qui permet de regrouper les termes en−netndans la série de Fourier, et donc d’écrire la série de Fourier en cosinus. De même, si f est impaire, alorsc_−n(f) = −c_n(f)ce qui permet d’écrire la série de Fourier en sinus.

Dans la pratique, on écrit parfois la série de Fourier sous la forme 1

2a0(f)+X

n>1

a_n(f)cos(nx)+b_n(f)sin(nx) ,

où les coefficients sont donnés par a_n(f) = 1

π Z _2π

0

f(x)cos(nx)dx et b_n(f) = 1 π

Z _2π

0

f(x)sin(nx)dx .

L’avantage de cette représentation est que les coefficients sont réels dès que la fonction f l’est aussi. Son inconvénient est que les propriétés liées à l’orthogonalité des exponentielles com- plexes (par exemple la formule de Parseval) se lisent moins facilement sur les coefficientsa_n etb_n. Dans les exercices calculatoires, on jonglera entre les deux écritures de la série de Fourier.

Proposition 3. La transformation de Fourier

F : L¹(T) −→ `^∞(Z) f 7−→ (c_n(f))_n∈Z

est une application linéaire continue de norme 1.

Proposition 4(Riemann-Lebesgue). Si f ∈L¹(T), alorsc_n(f) →0quandn → ±∞. Autrement dit, F est à valeurs dansc₀(Z).

Proposition 5(Lien avec la dérivation).

1. SoitF ∈C(T)telle qu’il existe f ∈L¹(T)telle que

∀x ∈T, F(x)−F(0) = Z x 0

f(t)dt . Alors pour toutn ,0,c_n(F) = _in¹c_n(f).

2. Si f ∈C¹(T), alors pout toutn ,0,c_n(f) = _in¹c_n(f⁰).

Remarque 4. En fait, l’ingrédient principal de la Proposition 5 est l’intégration par parties. Par conséquent, le deuxième point s’étend à d’autres cadres. Par exemple, si f est continue, etC¹ par morceaux (c’est-à-dire qu’il existe une subdivision 0 =a₀ < . . . < a_K = 2π telle que pour toutk, f_]ak,ak+1[ admette un prolongementC¹ sur [a_k,a_k+1]), alors on a encore pour toutn , 0, c_n(f) = _in¹c_n(f⁰), voir Exercice 16. L’Exercice 25 généralisera encore cette formule.

Proposition 6(Lien avec la convolution).

1. Si f,д ∈L¹(T), alors pour toutn ∈Z,c_n(f ∗д) =c_n(f)c_n(д) .

2. SiK ∈ P, alorsK ∗f ∈ P. En particulier, pour toutn ∈Z, f ∗e_n =c_n(f)e_n. Exercice 3.Montrer les propriétés des coefficients de Fourier données ci-dessus.

Définition 7. Lenoyau de Dirichletest défini par D_N = X

|n|6N

e_n i.e. D_N(x) = X

|n|6N

e^inx .

Lenoyau de Fejérest défini (pourN > 1) parK_N = 1 ^N−1X D_k .

Proposition 7. Soitf ∈L¹(T). 1. S_Nf = f ∗D_N.

2. σ_Nf = 1 N

N−1

X

k=0

S_Nf = f ∗K_N.

3.

Z

T

D_Ndµ = 1 2π

Z 2π 0

D_N(x)dx = 1 et Z

T

K_Ndµ = 1 2π

Z 2π 0

K_N(x)dx = 1. 4. Les noyaux de Dirichlet et Fejér vérifient

D_N(x) = sin

(N + ¹₂)x

sin^x₂ , K_N(x) = X

|n|6N

1− |n|

N

!

e^inx = 1 N *

, sin^Nx₂

sin^x₂ + -

2

.

5. Pour toutδ ∈]0,π[, on a

sup

δ6|x|6π|K_N(x)|6 1 N sin²(^δ₂) . En particulier,(K_N)est une approximation de l’unité sur le cercle.

Exercice 4. Convolution de suites (évoquée dans [E, Exo 3.15]) 1.Soienta= (a_n) ∈`<sup>1</sup>(Z)etb= (b<sub>n</sub>) ∈`¹(Z).

a.Montrer que l’on peut définir

∀n ∈Z, c_n =X

p∈Z

a_pb_n−p

et que la suitec = (c_n) ainsi définie est dans`¹(Z) aveckck₁ 6 kak₁kbk₁. b.Montrer que pour toutx ∈T, on peut définir

f(x) =X

p∈Z

a_pe^ipx , д(x) =X

q∈Z

b_qe^iqx , φ(x) = X

n∈Z

c_ne^inx .

Montrer que pour toutx ∈T,φ(x) = f(x)д(x).

2.SoitN ∈N^∗. On pose pour toutn ∈ Z,a_n =b_−n = ^√1_N1_06n<N et on réutilise les notations de la question précédente. Montrer que

f(x) = e^{iN−12 x}

√N

sin(^Nx₂ )

sin(^x₂) et φ(x) = |f(x)|² =K_N(x) .

2.2 Convergence des Séries de Fourier

Théorème 7. Convergence Ponctuelle - Théorème de Dirichlet Soit f ∈L¹(T)et un pointa ∈Tfixé.

On suppose que f admet enades limites finies à gauche et à droite notées f(a−) et f(a₊) et qu’il existeδ > 0tel que

Z δ 0

|f(a+t)− f(a₊)|

t dt < ∞ et Z δ

0

|f(a−t) −f(a−)|

t dt < ∞. Alors

S_Nf(a) −−−−→

n→∞

1 2

f(a−)+ f(a₊) .

Corollaire 1. Si f ∈ L¹(T) admet des limites finies à gauche et à droite ena et des dérivées à gauche et à droite ena, alors

S_Nf(a) −−−−→

n→∞

1 2

f(a−)+ f(a₊) . Si de plus, f est continue ena(i.e. f(a−) = f(a₊)), alors lim

N→∞S_Nf(a) = f(a). Exercice 5. Preuve du Théorème 7 [ZQ]

1.Montrer que

S_Nf(a) − 1 2

f(a−)+ f(a₊)

= 1 2π

Z π 0

h_a(t)

sin(^t₂) sin N + 1 2

t dt , où l’on a posé

h_a(t) = f(a+t)− f(a₊) +f(a−t)− f(a−). 2.Montrer quet 7→ ^ha(t)

sin^t₂ ∈L¹(0,π)et conclure avec le lemme de Riemann-Lebesgue.

Théorème 8. Convergence au sens de Césaro - Théorème de Fejér Soit f ∈L¹(T)et un pointa ∈Tfixé.

1. On suppose que f admet ena des limites finies à gauche et à droite notées f(a−) et f(a₊). Alors

σ_Nf(a) −−−−→

n→∞

1 2

f(a−)+ f(a₊) , i.e., ena, la série de Fourier convergeau sens de Césarovers ₂¹

f(a−)+ f(a₊) . 2. Si f est continue en tout point de[α,β], alorsσ_Nf → f uniformément sur[α,β].

Exercice 6. Preuve du Théorème 8 [Ka, Chap.1, Th. 3.1]

1.On suppose que f admet enades limites finies à gauche et à droite.

a.Montrer que

σ_Nf(a)− 1 2

f(a−)+ f(a₊)

= 1 2π

Z π 0

h_a(t)K_N(t)dt , où l’on a posé

h_a(t) = f(a+t)− f(a₊) +f(a−t)− f(a−). b.En écrivantR π

0 = Rδ 0 +R π

δ , en déduire la limite deσ_Nf(a).

2.On suppose maintenantf continue en tout point de [α,β]. On fixeε > 0.

a.Avec les notations de la première question, montrer qu’il existeδ ∈]0,π[ tel que

∀a ∈[α,β],∀t ∈[−δ,δ], |h_a(t)| 6ε . b.Toujours avecR _π

0 =R _δ

0 +R _π

δ , en déduire queσ_Nf → f uniformément sur [α,β].

Théorème 9. Théorème de Fejér revisité [ZQ]

1. La suite(K_N) est une approximation de l’unité sur le cercle.

2. Soitf ∈C(T). Alors pour toutN > 1, kσ_Nfk_∞ 6 kfk_∞. De plus,σ_Nf → f uniformément surT.

3. Soit f ∈L^p(T) avec1 6p < ∞. Alorskσ_Nfk_p 6 kfk_p. De plus,σ_Nf → f dansL^p(T).

Corollaire 2.

1. Les polynômes trigonométriques sont denses dansC(T) et dansL^p(T) pourp < ∞. 2. La transformation de Fourier f ∈L¹(T) 7→ (c_n(f))_n∈Z est injective.

Autrement dit, deux fonctions L¹(T) ayant les mêmes coefficients de Fourier sont égales presque partout.

Exercice 7. Le théorème de Fejér implique celui de Weierstrass SoitF : [−1,1]→Rune fonction continue et f = F ◦cos.

1.Montrer quef ∈C(T), et que f est paire.

2.En déduire que

∀N ∈N, σ_Nf =c0(f)+ XN n=1

1− n

N

c_n(f)(e_n+e−n)

3.Montrer que pour toutn ∈N, il existe un polynômeT_nde degrén(polynôme de Tchebycheff) tel que

∀t ∈R, cos(nt) =T_n(cos(t)) .

4.En déduire l’existence d’un polynômeP_N tel que kF −P_Nk_∞ = kf −σ_N(f)k_∞. 5.Conclure.

On présente maintenant quelques résultats négatifs sous forme d’exercices. Certains d’entre eux s’appuient sur l’étude dekD_Nk₁qui fait l’objet de l’exercice suivant.

Exercice 8. Étude dekD_Nk₁( [Kö, Lemme 18.3] pour Q1, [ZQ] pour Q2)

1.Montrer quekD_Nk₁→ ∞quandN → ∞(on pourra utiliser l’expression du noyau de Dirichlet donnée dans la Proposition 7).

2.On va maintenant estimer plus précisémentkD_Nk₁selon la méthode donnée dans [ZQ].

a.Montrer que l’on peut écrire

∀N ∈N,∀x ∈[−π,π], D_N(x) = 2 sin(Nx)

x +r_N(x) , où sup

|x|6π,N>0

|r_N(x)| <∞(et où par convention ^sin(Nx_x ⁾ = N pourx =0).

b.Considérons

α = 1 2π

Z _2π

0

|sint|dt et φ(x) = Z _x

0

|sint|dt −αx . Montrer queα = _π², queφ ∈C¹(T), avec pour toutx ∈T,φ⁰(x) = |sinx| −α . En déduire que kD_Nk₁ = _π⁴2logN +O(1)quandN → ∞.

Exercice 9. Il existe f ∈C(T) dont la série de Fourier diverge en 0 [Rud]

1.Montrer quef 7→S_Nf(0) est une forme linéaire continue surC(T)de norme kD_Nk₁. 2.En déduire qu’il existef ∈C(T) telle que sup_N>0|S_Nf(0)|= ∞. Conclure.

Exercice 10*. Construisons f ∈C(T) telle queS_Nf(0)diverge [Kö, Ch.18]

1.Dans cette première question, on montre que pour toutA> 0, il existeP ∈ P tel que kPk_∞ 61 et |S_NP(0)| > A.

a.Posonsh_n =sgn(D_n). Montrer queS_nh_n(0) > _π⁴2log(2(n+1)).

b.Montrer qu’il existeд_n :T→ [−1,1] continue telle queS_nд_n(0) > _π⁴²log(n+1).

c.Montrer qu’il existep_n ∈ P(à valeurs complexes) tel que kp_nk_∞ 6 2 et |S_np_n(0)|> 4

π² log(n+1)−1. d.Conclure.

2. La question précédente montre l’existence d’une suite H_k =

qk

X

q=−q_k

c_q(H_k)e_q de polynômes trigonométriques et d’une suite d’entiersn_k telles que

∀k >1, kH_kk_∞ 6 1 et |S_nkH_k(0)| > 2^2k . Posons p_k =

Xk j=1

(2q_j +1) et ∀t ∈T, f(t) =

∞

X

k=1

1

2^k e^ipktH_k(t) . a.Montrer que f est bien définie et continue surT.

b.Montrer que pourk ∈N^∗ etq ∈Ztel queq 6q_k, on ac_pk+q(f) = ₂¹k c_q(H_k) . c.Remarquer queq_k >n_k. En déduire que

∀k > 1, |S_pk+nkf(0)−S_pk−nkf(0)|= 1

2^k|S_nkH_k(0)|> 2^k . d.En déduire que lim sup_n→∞|S_nf(0)|=∞et conclure.

Exercice 11. Défaut de convergenceL¹(T)[Ka, §II.1.2]

Par l’absurde, supposons que pour tout f ∈L¹(T),(S_Nf) converge dansL¹(T).

1.On rappelle queS_Nf =D_N ∗f. Calculer la norme de l’opérateurS_N :L¹(T) →L¹(T).

2.En déduire que la suite(kD_Nk₁)_N>1serait bornée, et conclure.

Exercice 12.F :L¹(T) →c₀(Z)n’est pas surjective. Méthode 1 [Rud, §5.15]

Supposons par l’absurde que toute suite (c_n) telle que lim

|n|→∞c_n = 0 soit la suite des coeffi- cients de Fourier d’une fonctionL¹(T).

1.En déduire qu’alors, il existerait une constanteM > 0 telle que∀f ∈L¹(T), kfk₁ 6 Msup

n∈Z

|c_n(f)|.

2.Obtenir une contradiction en prenant f =D_N.

Exercice 13.F :L¹(T) →c0(Z)n’est pas surjective. Méthode 2 [Ka, Ch.1, §4]

1.Soit f ∈L¹(T) telle que pour toutn > 0,c_n(f) = −c−n(f) > 0.

a.Montrer queF(t) =R _t

0 f(τ)dτ définitF ∈C(T).

b.Montrer qu’en 0, les sommes de Fejér associées àF s’écrivent σ_NF(0) =c0(F) +2

XN n=1

1− n

N

c_n(f) in . c.En utilisant le théorème de Fejér, en déduire queX

n,0

c_n(f) n < ∞. 2.En déduire que

∞

X

n=2

sin(nx)

logn n’est pas la série de Fourier d’une fonction f ∈L¹(T).

Exercice 14. Conditions suffisantes d’appartenance àF(L¹(T))[Ka, Ch.1,§4.1]

1.Soit(a_n) ∈c₀(Z)telle quea_n =a−n > 0 et qui vérifie la condition de convexité

∀n > 0, a_n−1+a_n+1−2a_n > 0. a.En considérant

∞

X

n=1

(a_n−a_n+1), montrer quen(a_n−a_n+1) → 0 quandn → ∞. b.Montrer que

XN n=1

n(a_n−1+a_n+1−2a_n) =a₀−a_N −N(a_N −a_N+1) , puis que le membre de gauche admet une limite finie quandN → ∞.

c.En déduire que l’on peut poser f =

∞

X

n=1

n(a_n−1+a_n+1−2a_n)K_n−1

où la série converge dansL¹(T) (K_N désignant le noyau de Fejér).

d.Montrer que les coefficients de Fourier de f sont exactement les(a_n).

2.En déduire queP∞ n=2

cos(nx)

logn est la série de Fourier d’une fonction f ∈L¹(T).

Exercice 15*.IDEV JLe Principe de Localisation [Ka]

Soit f ∈L¹(T) qui est de classeC¹sur un intervalle ouvertI. L’objectif est de montrer qu’il y a convergence uniforme de la série de Fourier sur tout intervalle compact [α,β] ⊂I.

1.(Riemann-Lebesgue uniforme) Montrer que siH est précompact dansL¹(T), on a supφ∈H |c_n(φ)| −−−−−−→

|n| → ∞ 0. 2.Poura ∈[α,β], définissonsψ_a :T→ Cpar

ψ_a(u) = f(a−2u)− f(a)

sinu .

Montrer queH = {ψ_a , a ∈[α,β] }est compact dansL¹(T).

3.En déduire queS_Nf → f uniformément sur [α,β].

4. Siд₁,д₂ ∈ L¹(T) coïncident au voisinage de [α,β], montrer que la convergence uniforme sur [α,β] deS_Nд₁équivaut à celle deS_Nд₂.

Remarque 5.

- Au-delà du procédé de la sommation de Césaro, il existe d’autres procédés de sommation me- nant à d’autres résultats de convergence. Par exemple, le procédé de sommation d’Abel permet d’écrire que si f ∈C(T), alors

f(x) =lim

r→1

X

n∈Z

r^|n|c_n(f)e^inx ,

où la convergence est uniforme enx ∈ T. La preuve est tout à fait analogue au théorème de Fejér et consiste à montrer que le noyau de Poisson défini pourr ∈[0,1[ par

P_r(x) =X

n∈Z

r^|n|e^inx

est une approximation de l’unité sur le cercle quandr →1 ; voir [ZQ] pour les détails.

- On remarquera qu’une suite de noyaux trigonométriques fournit une façon d’approcherf par des polynômes trigonométriques. Selon les propriétés du noyau et la régularité de la fonction, l’approximation sera plus ou moins rapide. On verra dans l’Exercice 27 que le noyau de Jackson permet de donner une approximation uniforme d’une fonction continue avec une erreur direc- tement contrôlée par le module de continuité.

- Le Théorème 9 montre que pourp < ∞et pour f ∈ L^p(T), la série de Fourier converge au sens de Césaro dansL^p(T)vers f. On peut se demander si, plus simplement, la série de Fourier S_Nf converge versf dansL^p(T). Le résultat est clairement faux pourp =∞pour des raisons de continuité. L’Exercice 11 montre que c’est faux aussi pourp= 1. En revanche, pour 1 <p < ∞, on a effectivementS_Nf → f dansL^p(T) dès que f ∈ L^p(T); c’est un théorème difficile dû à Marcel Riesz, voit par exemple [Ka, Ch.2, §1.5]. Cependant, le cas particulierp = 2 est moins difficile, comme on va le voir dans le paragraphe suivant. Notons aussi que dans ce polycopié, nous n’aborderons pas le problème de la convergence presque partout de la série de Fourier ; ce problème très difficile est discuté dans [Ka, §II.3], [Z, Vol.2, Ch.13] ou dans [E, §10.4].

2.3 Théorie L

Théorème 10. La famille(e_n)_n∈Zest une base hilbertienne deL²(T). Par conséquent,

`²(Z) −→ L²(T)

(c_n) 7−→ X

n∈Z

c_ne_n

est une bijection linéaire isométrique. Aussi, si f ∈L²(T),S_Nf → f dansL²(T), i.e.

f =X

n∈Z

c_n(f)e_n

où la série converge dansL²(T). Enfin, on a l’égalité de Parseval

∀f ∈L²(T), kfk₂² =X

n∈Z

|c_n(f)|².

Théorème 11. Si f :T→Cest continue etC¹par morceaux, alorsX

n∈Z

|c_n(f)| < ∞. Par suite

∀x ∈T, f(x) = X

n∈Z

c_n(f)e^inx ,

avec convergence normale dansC(T).

Exercice 16. Preuve du Théorème 11 [G]

Sixest un point de dérivabilité de f, notonsφ(x) = f⁰(x).

1.Expliquer pourquoi cela définitφ ∈L¹(T). Montrer que

∀x ∈T, f(x)− f(0) =Z _x

0

φ(t)dt . 2.Montrer que pour toutn, 0, c_n(f) = c_n(φ)

in .

3.En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, en déduire queX

n∈Z

|c_n(f)|< ∞. Exercice 17. Série de Fourier et convolution surL²(T) [BMP]

Soit f ∈L²(T).

1.Montrer que l’on peut définir une fonction continue en posantд =X

n∈Z

c_n(f)²e_n . 2.Montrer queд= f ∗ f et en déduire que

∀x ∈T, f ∗ f(x) =X

n∈Z

c_n(f)²e^inx .

2.4 Calculs et Premières Applications

Exercice 18. Deux séries de Fourier élémentaires (formules à retrouver dans [ZQ]) 1.Définissons f : T→Rpar f(x) =1 si|x| 6 ^π₂ et 0 sinon.

a.Montrer que pour

∀n ,0, c_n(f) = iⁿ⁺¹ 2πn

(−1)ⁿ−1 . b.En déduire que

f(x) = 1 2 + 2

π X

p>0

(−1)^p

2p+1cos((2p+1)x) où la série converge dansL²(T).

c. Est-ce que l’égalité précédente est-elle valable ponctuellement et si oui, pour quelsx? Que se passe-t-il enx =±^π₂ ? Quelle est la valeur du membre de droite en ces points ? d.Montrer queX 1

(2p+1) = π²

, puis que X 1 n = π²

.

2.On poseд = f ∗ f.

a.Montrer que pour tout∀x ∈[−π,π], д(x) = ¹₂ 1− ^|x_π^|

. b.Montrer (en utilisant éventuellement l’Exercice 17) que

д(x) = 1

4+2X

p>0

1

π²(2p+1)² cos

(2p+1)x , où la série converge dansL²(T), mais aussi en norme dansC(T).

c.En déduire

X

p>0

1

(2p+1)⁴ = π⁴

96 , puis que X

n>1

1 n⁴ = π⁴

90 . Exercice 19. Phénomène de Gibbs [G], [CLF1], [FGN2], [ZQ]

On reprend la fonction f = 1_[−^π

2,^π₂].

1.Montrer que siN =2P+1 ouN = 2P+2 (avecP > 0), alors S_Nf π

2 − π 2N

− 1 2 = 2

π XP p=0

1

2p+1sin 2p+1 2N

π .

2.En utilisant une somme de Riemann, en déduire la limite du membre de gauche.

3.En utilisant que _π² R _π

0

sintt dt ≈1.18, en déduire que lim

N→∞kS_Nfk_∞ > 1.

Exercice 20. Séries de Fourier et Logarithme Complexe [LFA, §12.1]

Montrer (par la méthode votre choix) que pour toutx ∈]0,2π[,

∞

X

n=1

cosnx

n = −log

2 sinx 2

,

∞

X

n=1

sinnx

n = π −x 2 . Exercice 21. Exponentielle apériodique [ZQ]

On fixea ∈C\Zet on définitf :T→ Cen posant

∀t ∈[−π,π[, f(t) =e^iat . 1.Montrer que pour toutn ∈Z, c_n(f) = (−1)ⁿ sinπa

π(a−n). 2.Montrer que

∀N > 1, S_Nf(π) = sin(πa)

πa + 2asin(πa) π

∞

X

n=1

1 a²−n² .

3.Avec le théorème de Dirichlet, en déduire que cos(πa) = sin(πa)

πa + 2asin(πa) π

∞

X

n=1

1 a²−n² ,

puis en déduire le développement eulérien de la cotangente πcot(πa) = 1

a +2a

∞

X

n=1

1 a²−n² .

4.En considérant maintenantS_Nf(0), obtenir l’identité π

sin(πa) = 1 a +2a

∞

X

n=1

(−1)ⁿ a²−n² .

Exercice 22. The Simplest Convergence Theorem (Questions 1 et 2 dans [Kö]) 1.Soit(c_n) ∈`¹(Z). Montrer qu’on peut poser

∀x ∈T, f(x) = X

n∈Z

c_ne^inx ,

où la série converge absolument. Montrer que f ∈C(T) et que pour toutn ∈Z,c_n(f) =c_n. 2. Soit f ∈ L¹(T) telle que (c_n(f)) ∈ `¹(Z). Montrer que f est égale presque partout à une fonction continue.

3.(Application) SoitF(z) =

∞

X

n=0

a_nzⁿune série entière de rayonR >0 et soitr ∈]0,R[.

a.En considérant f(t) =F(re^it), montrer les célèbres formules a_n = F⁽ⁿ⁾(0)

n! = 1 2iπ

Z

γ

F(z)

zⁿ⁺¹dz , , F(0) = 1 2π

Z 2π 0

F(re^it)dt

oùγ est le chemin composé du cercle de centre 0 et de rayonr parcouru dans le sens trigono- métrique. En déduire que siR = ∞et s’il existed ∈Ntel que sup_{z∈C 1+}^|F(z)_|z|d^| < ∞, alorsP est un polynôme de degré6d. Que peut-on dire siF est bornée surC?

b.Montrer que

X

n>0

|a_n|²r²ⁿ = 1 2π

Z _2π

0

|F(re^it)|²dt .

En déduire que si|F|admet un maximum local en 0, alorsF est constante surD(0,R). En déduire que siG : U → C est une fonction analytique¹ sur un ouvert connexeU ⊂ C telle que |G| admette un maximum local en un pointa∈U, alors elle est constante surU (on pourra utiliser le principe du prolongement analytique).

Exercice 23. Séries de Fourier Absolument Convergentes [Ka, Chap1, §6]

On introduit l’espace vectoriel A(T) =

f ∈C(T) | X

n∈Z

|c_n(f)| < ∞

muni la normekfk_A= X

n∈Z

|c_n(f)|. 1.Montrer que

`¹(Z) −→ A(T)

(c_n) 7−→ X

n∈Z

c_ne_n

est une bijection linéaire isométrique. En déduire queA(T)est complet.

2.Montrer que si f,д ∈A(T), alors f д∈A(T)aveckf дk_A 6 kfk_Akдk_A. 3.Soit f ∈C(T) telle quec_n(f) > 0 pour toutn ∈Z.

a.Montrer que pour toutN > 1, XN n=−N

c_n(f) 6 2σ_2Nf(0).

b.En déduire que f ∈A(T).

Remarque 6. Mentionnons encore quelques applications qui ne seront pas traitées ici :

— le critère d’équirépartition de Weyl [Kö],

— l’inégalité de Poincaré-Wirtinger [FGN2],

— l’inégalité isopérimétrique [ZQ],

— l’inégalité de Berstein [ZQ],

— le théorème de Herglotz [Ka],

— la théorie des gammes musicales [GW].

2.5 Analyse de Régularité

Théorème 12. RégularitéC^k

1. Si f ∈C^k(T), alorsc_n(f) =o(_n¹_k) quand|n| → ∞.

2. Si f ∈ L¹(T) vérifiec_n(f) = O(_nk+2¹ ) quand |n| → ∞, alors f est égale presque partout à une fonctionC^k(T).

3. Soit f ∈ C(T). Alors f est de classe C^∞ si et seulement si la suite de ses coefficients de Fourier est à décroissance rapide, c’est-à-dire∀k ∈N, lim|n|→∞|n|^kc_n(f) →0.

Ce théorème et sa preuve doivent être absolument connus.

Exercice 24. Fonctions Holdëriennes [Ka], [FGN2]

Pourα ∈]0,1], on note Lip_α(T) l’espace des fonctions f : T → Cqui sontα-holdëriennes, que l’on munit de la norme

kfk_Lipα = kfk_∞+ sup

t∈T,h,0

|f(t+h)− f(t)|

|h|^α . 1.Montrer queC¹(T) ⊂ Lip_α(T) ⊂ C(T).

2.Soit f ∈Lip_α(T). On noteτ_hf(t) = f(t −h). a.Montrer que pour toutn ,0,

c_n(f) = 1 4π

Z _2π

0

f(t)− f t+ π

n e^−intdt . b.En déduire quec_n(f) = O(_|n|¹α) quand|n| → ∞.

3.Supposons maintenantα ∈]¹₂,1].

a.Montrer que pour touth ∈T, la translatéeτ_hf(t) = f(t−h)vérifie X

n∈Z

|e^inh−1|²|c_n(f)|² = kτ_hf − fk₂² . b.Soientm ∈N. En prenanth = _3·2^2πm, montrer que

X

2^m6|n|<2^m+1

|c_n(f)|² 6 X

n∈Z

|e^inh−1|²|c_n(f)|² 6 2π

3·2^m 2α

kfk_Lip²

α .

c.En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, en déduire que

∀m∈N, X

2^m6|n|<2^m+1

|c_n(f)| 62^m+12 2π

3·2^m α

kfk_Lipα .

d.En conclure qu’il existe une constantec_α dépendant uniquement deα telle que X

n∈Z

|c_n(f)| 6c_αkfk_Lipα .

Exercice 25*. Fonctions à Variation Bornée [E]

On dira que f ∈BV(T) siV(f) := sup

0=x0<...<x_m=2π

Xm k=1

|f(x_k)− f(x_k−1)|< ∞.

On va voir que si f ∈BV(T), alorsc_n(f) = O(_|n|¹ ).

1.Première méthode. Soitn ,0 et posonsд(x) = e^−inx

−in .

a. Supposons d’abord f ∈ C(T). Soit ε > 0. Montrer que pour une subdivision assez fine 0=x0 <x1 < . . . <x_m = 2π, on a

c_n(f)− 1 2π

Xm k=1

f(x_k)

д(x_k)−д(x_k−1)

6 ε.

b.En déduire que

|c_n(f)|6

1+ 1 2π

ε+ 1 2π

V(f)

|n| . et conclure dans ce cas en faisantε →0.

c.On suppose maintenant f ∈BV(T) et pourr ∈]0,π[, etx ∈T, f_r(x) =r Z _x+r¹

x f(t)dt . d.Montrer que

|c_n(f_r)| 6 V(f_r)

2π|n| 6 V(f) 2π|n| . e.En déduire que|c_n(f)| 6 V(f)

2π|n|.

2.Deuxième méthode, en admettant que pourf ∈BV(T), il existe une mesure complexeνsurT telle que l’on ait pourpresquetousx ∈T,

f(x)− f(0) = Z

[0,x]dν =ν([0,x]) . (1)

On renvoie à [AFP, §3.2] ou [Rud, Ch.7, Exo 13] pour ce résultat, et à [Rud] pour la notion de mesure complexe.

a.Montrer que pour une mesure complexeν surT, on peut définir c_n(ν) = 1

2π Z

T

e^−inxdν(x) avec |c_n(ν)| 6 1

2π|ν|(T) .

b.Soitf ∈BV(T)etνvérifiant (1). Montrer que pour toutn, 0,c_n(f) = _in¹c_n(ν). En déduire que

∀n ,0, |c_n(f)| 6 1 2π

|ν|(T)

|n| .

(On ne cherchera pas à montrer que|ν(T)|=V(f)car f =дp.p.;V(f) =V(д).)

Exercice 26*. Théorème de Paley-Wiener [ZQ]

Pourδ > 0, on noteB_δ = {z ∈C| |Im(z)| 6δ }. Soitf ∈C(T).

On va voir que f admet un prolongement analytique à une bandeB_δ si et seulement s’il existeε > 0 tel quec_n(f) = O(e^−ε|n|).

1.Supposons qu’il existeε > 0 etM > 0 tels que

∀n ∈Z, |c_n(f)|6 Me^−ε|n|. a.Montrer que pour toutx ∈R, f(x) = X

n∈Z

c_n(f)e^inx. b.Montrer queF(z) = X

n∈Z

c_n(f)e^inz converge uniformément sur tout compact deB_ε. c.En déduire que f admet un prolongement analytique àB_ε.

2.Supposons quef admet un prolongement analytique àB_δ. Notons M =sup

(

|F(u+iv)|; |u| 6π +δ

2 , |v| 6 δ 2

) . a.Avec la formule de Cauchy, montrer que pourp ∈N, sup

x∈T

|f^(p)(x)| 6 Mp!2 δ

p

. b.En déduire que pour toutn ,0,

|c_n(f)| 6 Mp!

n^p 2

δ p

6 Mexp plog 2p

δ|n|

! .

c.En choisissant judicieusementp, en déduire que|c_n(f)|= O(e^−ε|n|) pourε = _2e^δ. Exercice 27*. Noyau de Jackson et Approximation [ZQ]

Dans cet exercice on notera P_N = Vect{e_n ; |n| 6 N }. 1.On introduit le noyau de JacksonJ_n = K_n²

kK_n²k₁.

a.Montrer queJ_n ∈ P_2n, que J_n > 0 et que kJ_nk₁= 1.

b.Montrer que

kK_n²k₁ >a·n où a= 2 π

Z ^π₂

0

sinu u

!4

du . c.Soitk ∈[0,3[. Montrer qu’il existeC > 0 tel que

Z π

−π |t|^kJ_n(t)dt 6 C n³

Z ^π₂

0

t^k sin(nt) t

!4

dt . d.En déduire que∀k ∈[0,3[,

Z _π

−π

|t|^kJ_n(t)dt =O 1

n^k

.

2.Soit f ∈C(T). On noteraω le module de continuité de f défini par ω(δ) = sup

|u−v|6δ

|f(u)− f(v)|.

On noteraP_n = f ∗J_[ⁿ

2]où [ⁿ₂] est la partie entière de ⁿ₂. a.Montrer queP_n ∈ P_n.

b.Montrer que pour toutt ∈R,ω(|t|) 6 (n|t|+1)ω₁

n

et en déduire que kf −P_nk_∞ = O

ω1 n . c.Montrer que

kf −S_nfk_∞ 6 kf −P_nk_∞(1+ kD_nk₁) . d.En conclure que

kf −S_nfk_∞ 6 O ω1

n

log(n) .

e.(Application) Montrer que sif estα-hölderienne, alorsS_nf → f uniformément.

Exercice 28*. Séries de Fourier Lacunaires [ZQ]

Soit (ε_n) ∈C^Ntelle queX

n>0

|ε_n|< ∞. On définit une fonction f ∈C(T)en posant

f(t) =ε₀+

∞

X

n=1

ε_ne^i2nt .

On va voir que si f est dérivable en un pointa, alorsε_n = o(2⁻ⁿ). Pour cela, on réutilisera le noyau de Jackson présenté dans l’Exercice 27.

1.Montrer qu’il suffit de traiter le cas oùa= 0 avecf(a) = f⁰(a) = 0.

2.Soientn > 2 etp < 2ⁿ⁻². Montrer que ε_n = 1

2π Z

T

f(t)J_p(t)e^−i2ntdt .

3.En appliquant cela àp_n = 2ⁿ⁻²−1, démontrer quep_nε_n →0 et conclure (on pourra décomposer R

T = R

|t|6δ+R

|t|>δ et utiliser les propriétés du noyau de Jackson).

4.En déduire que f(t) =

∞

X

n=1

e^i2nt

2ⁿ est une fonction continue nulle part dérivable.

2.6 Équation de la Chaleur sur T

Dans cette partie, nous proposons en exercice de revenir à la motivation initiale des séries de Fourier : la résolution de l’équation de la chaleur. Siu : T → R, la valeuru(x) représentera donc la température en un pointxd’une barre circulaire modélisée parT. Les séries de Fourier permettent de résoudre les équations régissant la diffusion de la chaleur dans cette barre au cours du tempst.

Exercice 29.I DEVJÉquation de la Chaleur surT[DK], [FGN4]

Fixons une condition initiale f ∈C(T) et cherchonsu : R+×T →Ccontinue surR+×T, de classeC^∞surR^∗₊×Tet vérifiant

∂u

∂t(t,x) = ∂²u

∂x²(t,x) ∀(t,x) ∈R^∗₊×T

u(0,x) = f(x) ∀x ∈T 1.(Unicité) Soitu :R+×T→Cune solution.

a.On fixet > 0. Montrer qu’il existe des coefficients(c_n(t))_n∈Z tels que

∀x ∈T, u(t,x) =X

n∈Z

c_n(t)e^inx , où la série converge absolument.

b.Montrer quet 7→c_n(t)est dérivable surR^∗₊et que

∀t >0, c_n⁰(t) =−n²c_n(t) . c.Montrer que lim

t→0c_n(t) =c_noùc_n est len-ième coefficient de Fourier de f. d.En déduire que l’on a nécessairement pour toust > 0 etx ∈T,

u(0,x) = f(x) et u(t,x) =X

n∈Z

c_ne^−n2te^inx . (2) 2.(Existence) Définissonsu par les formules (2).

a.Montrer que surR^∗₊×T,u est de classeC^∞et vérifie ∂u

∂t = ∂²u

∂x² . b.Pourt > 0, posons

p_t(x) = X

n∈Z

e^−n2te^inx Montrer que pourt >0,u(t,·) = f ∗p_t.

La suite de l’exercice consiste à montrer la continuité deu. Le cas f ∈C²(T) est rapide (cf.

question c), mais cela demande plus de travail dans le cas général.

c.Supposons que f ∈C²(T). Montrer qu’alors les deux formules de (2) se recoupent pour t =0 et queu est continue surR+×T. Conclure dans le cas f ∈C²(T). En déduire au passage