Analyse hilbertienne et de Fourier, examen final du 27 mai 2009
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— Premi`ere partie —
On consid`ere un nombre r´eelatel que 0< a≤π et on d´efinit une fonction f sur Ren posant f(x) =a− |x| si |x| ≤a, et f(x) = 0 si |x|> a.
a.Tracer le graphe de f. V´erifier que la fonctionf est int´egrable sur R. Calculer la transform´ee de Fourierfb.
b.On d´esigne par F la fonction 2π-p´eriodique surR qui co¨ıncide avecf sur [−π, π[. Indiquer le graphe de F. V´erifier que F est continue et de classe C1par morceaux sur [−π, π]. D´eterminer la s´erie de Fourier de F. De l’expression de F(0), d´eduire que
πa 2 − a2
4 =
+∞
X
n=1
1−cos(na) n2 = 2
+∞
X
n=1
sin2(na/2) n2 .
c.On poseg=f∗f. Montrer quegest nulle en dehors de [−2a,2a]. D´eterminerbg. Montrer que
∀x∈R, g(x) = 8 π
Z
R
sin4(ay/2)
y4 eixy dy.
En d´eduire quegest de classe C2sur R. Montrer queg00(x) =f(x+a) +f(x−a)−2f(x) pour toutx r´eel. Indiquer sur un sch´ema la forme du graphe deg.
— Deuxi`eme partie — Pour toutn∈Z, on d´efinit la fonction ϕn sur Rpar
∀x∈R, ϕn(x) =1[−π,π](x) einx.
a.V´erifier queϕn est int´egrable surRet calculer sa transform´ee de Fourier. Montrer que la suite de fonctions (√12πϕn)n∈Zest une suite orthonorm´ee dans l’espace L2(R). Quel est le sous-espace vectoriel ferm´e de L2(R) engendr´e par cette suite ?
b.Soit h une fonction de L2(R), nulle en dehors de [−π, π] ; montrer que la fonctionh est ´egale
`
a la limite dans L2(R) de la suite
sn= 1 2π
Xn k=−n
bh(k)ϕk,
et que la transform´ee de Fourierbh est ´egale `a la limite dans L2(R) de la suite sbn= 1
2π Xn k=−n
bh(k)ϕbk.
c.Dans cette question, on poseh=1[0,π]−1[−π,0]. Calculerbh. D´eduire debque pour touty /∈Z, on a
bh(y) =−2 i X
n∈Z\{0}
1−cos(πn) πn
sin(πy−πn) y−n . En d´eduire que pour touty /∈Z,
πtan(πy/2) = 4
+∞
X
k=0
y
(2k+ 1)2−y2.
Rappels.
Si 1≤p <+∞, l’espace Lp(Ω,A, µ) est l’espace vectoriel des (classes de) fonctions f r´eelles ou complexesA-mesurables sur Ω telles queR
Ω|f|pdµ <+∞; la norme est d´efinie par
∀f ∈Lp(Ω,A, µ), kfkp=Z
Ω
|f(ω)|pdµ(ω)1/p
,
et Lp(Ω,A, µ) est complet pour cette norme. Dans le cas de R, muni de la mesure de Lebesgue, on ´ecrit simplement Lp(R). Si une suite (fn) tend versf dans Lp(R), il existe des sous-suites qui tendent versf presque-partout.
Transformation de Fourier
La transformation de Fourier est d´efinie sur l’espace L1(R) en associant `a toute fonction f int´egrable surRla fonction fbd´efinie par
∀y∈R, fb(y) = Z
R
f(x) e−ixy dx.
Quandf ∈L1(R), la fonction fbest continue, et elle est born´ee parkfk1. Quandf est continue surR et que f etfbsont int´egrables, on a la formule d’inversion de Fourier
∀x∈R, f(x) = 1 2π
Z
R
fb(y) eixy dy.
Sif etx→xf(x) sont int´egrables surR, la transform´ee de Fourierfbest d´erivable, et sa d´eriv´ee est la transform´ee de Fourier dex→ −ixf(x).
Quandf etg sont dans L1(R), la convolution f∗g est d´efinie pour presque toutx par (f ∗g)(x) =
Z
R
f(x−t)g(t) dt;
la fonctionf∗g est int´egrable surRet sa transform´ee de Fourier est ´egale au produit de fbetg.b L’espace L2(R) est un espace de Hilbert, muni du produit scalaire d´efini par
∀f, g∈L2(R), hf, gi= Z
R
f(x)g(x) dx.
Lorsque g ∈ L2(R), la transform´ee de Fourier Fg ∈ L2(R) est la limite dans L2(R) de la suite (gbn) des transform´ees de Fourier des fonctions int´egrables gn =1[−n,n]g. Si g est `a la fois dans L1(R) et dans L2(R), on aFg=bg presque partout. La relation de Parseval affirme que
∀g1, g2∈L2(R), hFg1,Fg2i= 2πhg1, g2i.
L’applicationF est lin´eaire continue de L2(R) dans L2(R).
S´eries de Fourier
Sif est une fonction int´egrable sur [−π, π], on d´efinit sescoefficients de Fourier (cn)n∈Z, (an)n>0
et (bn)n>1 en posant cn(f) =
Z π
−π
f(t) e−int dt
2π ; an= 1 π
Z π
−π
f(t) cos(nt) dt; bn = 1 π
Z π
−π
f(t) sin(nt) dt.
Les sommes de Fourier de la fonction f sont donn´ees pour tout entier n≥0 par (Snf)(x) =
Xn k=−n
ck(f) eikx= a0
2 + Xn k=1
akcos(kx) +bksin(kx) .
Sif est dans l’espace H = L2([−π, π],dx/(2π)), la suite (Snf) converge versf dans H, c’est-`a-dire
que Z π
−π
f(x)−
Xn k=−n
ck(f) eikx
2dx 2π →0
quand n→ +∞. Lorsque f est 2π-p´eriodique continue sur R et de classe C1 par morceaux, on sait que
X
n∈Z
|cn(f)|<+∞, et f(x) =X
n∈Z
cn(f) einx pour toutx∈R.
