MP-2
M. BARTHES
Analyse de Fourier
But :
Appréhender la décomposition en série de Fourier
Savoir tracer un spectre
Maîtriser l'utilisation d'un logiciel d'analyse de Fourier
I. Décomposition en série de Fourier 1. Structure fréquentielle d'un signal
Décomposition en série de FourierToute fonction périodique de période T et continue par morceau peut s’écrire sous la forme :
f(𝑡) = + ∑∝ (𝑎 cos(𝑛𝜔𝑡) + 𝑏 sin(𝑛𝜔𝑡)) = ∑∝ 𝐴 cos(𝑛𝜔𝑡 + 𝜑 )
avec : 𝑎 = ∫ // 𝑓(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡 ; 𝑏 = ∫ // 𝑓(𝑡) sin(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡 et 𝐴 = 𝑎 + 𝑏 Spectre d’amplitude d’un signal
En physique, un spectre d’amplitude d’un signal est la représentation du coefficient 𝐴 en fonction de la fréquence 𝑓 = 𝜔/2𝜋.
Ex : représentation temporelle et fréquentielle de s(𝑡) = cos(𝜔 𝑡) + cos(𝜔 𝑡)
Chronogramme et spectre
2. Expérimentation
La décomposition en série de Fourier d’un signal triangulaire d’amplitude B et de pulsation est :
...
5 5 cos 3
3 cos cos
) 8
( 2 2 t 2 t
B t t
v
Utiliser le logiciel Latispro, aller dans traitement / tableur (F11) et remplir une nouvelle variable nommée t avec une rampe de 100 points entre 0 et 5 secondes.
Dans traitement / Feuille de calcul (F3) effectuer les calculs ci-contre.
Représenter la fonction v(t) ainsi que les différentes composantes puis imprimer, coller dans votre fiche.
Ajouter une constante à V , conclure sur ce que représente le terme a0 /2 dans la série de Fourier (première équation).
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II. Analyse de Fourier
L'algorithme de calcul utilisé est un algorithme de transformée de Fourier rapide, de type qui ne constitue qu'une approximation de la véritable transformée de Fourier du signal. Le signal est sous forme d'un tableau comportant N échantillons, s'étendant sur une durée totale T0. Ces caractéristiques vont induire des conséquences capitales sur l'allure du spectre obtenu.
1. Durée totale d'observation T0
a) Effet
Même si le signal n'est pas périodique, il apparaît donc une période factice égale à T0. L’algorithme utilisé duplique la fenêtre à l’infini.
En conséquence, le signal analysé apparaît fictivement comme périodique, de période T0, de fréquence
ΔF= 1/T0,
l'allure observée pendant la durée T0 constituant le
"motif" de la période. Son spectre sera donc constitué de raies distantes de la fréquence ΔF.
LatisPro est un logiciel à vocation pédagogique. Il possède une fonction « Sélection de la période » mise sur automatique. Il faudra passer en mode manuelle pour l’expérimentation suivante.
b) Expérimentation
À partir du GBF, effectuer l’analyse de Fourier d’un signal sinusoïdal de fréquence 1000 Hz et d’amplitude 5 V, de valeur moyenne nulle.
Pour 3 valeurs de la durée totale d’acquisition (10 μs, 1 ms, 5 ms) que l’on peut régler dans le menu paramétrage de l’acquisition, indiquer les valeurs de Delta-F présente dans le menu :
traitement>calcul spécifique>analyse de fourier.
Totale … …
Delta-F
A L ORAL : expliquer comment varient ces valeurs en fonction de Ttotale.
Noter la conclusion dans votre fiche
2. Temps d'échantillonnage T
ea. effet
Le théorème de SHANNON stipule qu'il doit y avoir au moins deux points acquis sur une période pour la déterminer. Ceci limite la fréquence maximale observable à Fe/2.
F
max= F
e/2 = 𝟏
𝟐𝐓𝐞 représente la fréquence maximale mesurable par la FFT
T
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Le signal n'est pas connu sous forme d'une fonction continue mais sous forme d'un tableau de N échantillons.
Soient Te la durée entre échantillons et Fe = 1/Te la fréquence d'échantillonnage : On peut écrire : Fmin = 1/To = 1/(N.Te) = Fe / N
On en tire alors deux conclusions :
La résolution de l'analyseur sera d'autant meilleure que le nombre d'échantillons est important.
On a donc intérêt à travailler avec un nombre de points important.
b) Expérimentation : spectre d’un signal rectangulaire
Effectuer l’analyse spectrale d’un signal créneau de fréquence 1,0 kHz et d’amplitude 3 V, de valeur moyenne nulle.
A L ORAL : justifier le choix de Te pour observer les 3 premières harmoniques dans le spectre.
Mesurer l’amplitude des différents harmoniques.
Vérifier les valeurs des amplitudes obtenues d’après les valeurs ci-dessous.
Représentation temporelle (chronogramme) Décomposition en série de Fourier v(t) 4A
sintsin3t
3 sin5t 5 ...
3. Phénomène de repliement du spectre
Choisir une fréquence d’échantillonnage de 20 kHz en imposant Te.
Représenter le spectre d’un signal sinusoïdal d’amplitude 2 V et de fréquence
8 kHz, 10 kHz, 12 kHz et 14 kHz.
Comparer les valeurs des fréquences mesurées et attendues
Dans votre fiche, représenter un spectre illustrant le principe du repliement
o ou imprimer en le justifiant le spectre d’un signal rectangulaire de fréquence 4 kHz .
EXERCICE BILAN : séparation de fréquences
Réaliser un montage permettant la sommation de deux signaux à l’aide des résistances à votre disposition.
En utilisant les sorties de la carte SYSAM PCI, choisir un signal sinusoïdal de fréquence 1000 Hz et d’amplitude 2 V, de valeur moyenne nulle ainsi qu’un signal sinusoïdal de fréquence 1010 Hz et d’amplitude 1 V, de valeur moyenne nulle.
Régler dans le menu paramétrage de l’acquisition, la valeur de la durée d’acquisition T0 et le nombre de points (ou Fe) afin de visualiser nettement deux pics dans le spectre du signal.
Imprimer la courbe obtenue et expliquer dans le compte rendu le choix de T0 et de Fe.
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4. Fenêtrage
a) Principe
En traitement du signal, le fenêtrage est utilisé dès que l'on s'intéresse à un signal de longueur volontairement limitée. En effet, un signal réel ne peut qu'avoir une durée limitée dans le temps ; de plus, un calcul ne peut se faire que sur un nombre fini de points. Pour observer un signal sur une durée finie, on le multiplie par une fonction fenêtre d'observation (également appelée fenêtre de pondération ou d'apodisation). La plus simple est la fenêtre rectangulaire (ou porte) valant 1 sur la durée de l’acquisition.
b) Illustration
Effectuer la transformée de Fourier d’un signal sinusoïdal de fréquence 1kHz avec une durée totale d’acquisition de 3,5 ms.
Observer le spectre en utilisant les différentes fenêtres de pondération proposées par le logiciel.
Conclure sur l’intérêt de ces fenêtres.
