Correction du DS du 14/10/19 Exercice 1 : (6 points)
1) a) est sous forme canonique, sous forme factorisée et ℎ sous forme développée.
b) = + 3− 4² = + 3 − 4 + 3 + 4 = − 1 + 7 : factorisée = ² − + 7 − 7 = ² + 6 − 7 : développée
= 22 + 3 − 2 = 22+ − 6 = 22² + 22 − 132 : développée = 22+ − 6 = 22 +−− 6 = 22 +− : canonique ℎ = − − 12 = −1
2
−1
4 − 12 = −1 2
−49
4 ∶ canonique ℎ = −1
2
−49
4 = −1 2
− 7 2
= −1 2 −7
2 −1 2 +7
2 = − 4 + 3 : factorisée
c) (i) la forme factorisée est la plus adéquate :
= 0 ⇔ 22 + 3 − 2 = 0 ⇔ = −3 ou = 2 : ) = *−3; 2, (ii) La forme développée est la plus pratique :
= −7 ⇔ ² + 6 − 7 = −7 ⇔ ² + 6 = 0 ⇔ + 6 = 0 : ) = *−6; 0, 2) - = 3− 6 + − 6 = 3− 15 − 18 : développée
On calcule : 012 =3 = puis - = 3 × − 15 ×− 18 = −
La fonction k est un trinôme du second degré de coefficient a positif, elle est donc d’abord décroissante sur 5−∞;5puis croissante sur 7; +∞7.
Son minimum vaut − atteint en
, d’où le tableau de variations :
−∞ +∞
-
−
Exercice 2 : (2 points)
1) La représentation graphique de P est une parabole tournée vers le bas, caractéristique du cas où a < 0 : réponse b
2) La valeur de c correspond à P(0). En effet, 80 = 9 × 0² + : × 0 + ; = ; D’après le graphique, 80 = 1 donc c = 1 : réponse a
3) La valeur 9 + : + ; correspond à 81 …
D’après le graphique, 81 = −2 donc 9 + : + ; = −2 : réponse b 4) La valeur 9 − : + ; correspond à 8−1 …
D’après le graphique, 8−1 = 2 donc 9 − : + ; = 2 : réponse a
Exercice 3 : (8 points)
1) a) Il faut d’abord que soit différent de 1 et de -1.
2 − 5
− 1 = − 1
+ 1 ⇔2 − 5
− 1 − − 1
+ 1 = 0 ⇔2 − 5 + 1 − − 1² − 1 + 1 = 0
⇔ − − 6
− 1 + 1 = 0 ⇔ − − 6 = 0 ⇔ = −2 <= = 3 ∶) = *−2; 3, Rq : on peut aussi utiliser le produit en croix ce qui évite de « traîner » un dénominateur inutile mais attention aux inéquations …
b) Il faut d’abord que soit différent de -2.
² − + 1
+ 2 = 2 + 3 ⇔ ² − + 1 − + 22 + 3
+ 2 = 0 ⇔−² − 8 − 5 + 2 = 0
⇔ −² − 8 − 5 = 0 ⇔ ² + 8 + 5 = 0 ⇔ = −4 + √11 <= = −4 − √11 ) = ?−4 − √11; −4 + √11@
Rq : on peut aussi utiliser le produit en croix … 2 9 − 2+ 7 − 5 ≤ 0 : C = 9
donc le trinôme a deux racines distinctes 1 LM 5
Ce trinôme est du signe de a (c’est-à-dire négatif) à l’extérieur de ses racines :2 . ) = P−∞; 1P ∪ 5
2 ; +∞
b) 3² + + 1 > 0 car le discriminant est négatif et 3 > 0. Il suffit de déterminer les valeurs de pour lesquelles le dénominateur est > 0.
C = 49 donc le dénominateur a deux racines distinctes -2 et 5 (qui sont deux valeurs interdites) il est donc strictement positif à l’extérieur : ) = P−∞; −2S ∪ P5; +∞S.
3) On considère l’équation (E) : 2+ 7− 15 = 0 a) On pose T = .
2+ 7− 15 = 2+ 7 − 15 = 2T+ 7T − 15 Ainsi, 2+ 7− 15 = 0 ⇒ 2T+ 7T − 15 = 0
T est donc solution de l’équation (E’) : 2T+ 7T − 15 = 0 b) ∆= 7− 4 × 2 × −15 = 169 = 13 > 0
L’équation a donc deux solutions distinctes : T =−7 + 13
4 = 3
2 et T = −7 − 13 4 = −5 c) Il reste à résoudre =W et = −5 :
La première équation a pour solutions XW et −XW. La deuxième n’a pas de solution réelle.
Les solutions de (E) sont donc XW et −XW.
Exercice 4 : (4 points)
1) 1ère méthode : ) = YZ[\+ Y]\^_
) =`8 × `a
2 +b8 + cd × bc
2 = × 10 −
2 + + 10 × 10 − 2
=−² + 10 + 100 − ²
2 =−2² + 10 + 100
2 = −² + 5 + 50 2ème méthode : ) = Ye_^[− Ye]\Z− Y[\^
) = Yc² − Yb² −`a × ad
2 = 100 − ² −10 × 10 −
= 100 − ² − 510 − = 100 − ² − 50 + 5 = −² + 5 + 502
(On aura bien sûr justifié que la longueur ND correspond à la hauteur issue de P …) 2) a) On écrit ) sous la forme canonique :
) = −+ 5 + 50 = − −+ , on en déduit le tableau de variation de ) sur f :
0 10
)
50 0 L’aire ) est maximale lorsque == 2,5 cm.
Cette aire vaut alors = 56,25 cm².
3) pour tout ∈ S0; 10P, ) ≤ Ye]\Z⇔ −² + 5 + 50 ≤ ² ⇔ 2² − 5 − 50 ≥ 0 C = 425 = k5√17l² > 0 donc le trinôme a deux racines : m√ et 0√ .
Seule la première est positive. Le trinôme étant positif à l’extérieur des racines, et sachant que nous résolvons l’inéquation sur S0; 10P :
) = n5 + 5√17 4 ; 10o
Bonus : (seulement s’il vous reste du temps)
Notons et p les longueurs des côtés du rectangle, l’énoncé se traduit ainsi : 2 + p = 11 et p = 7
La deuxième équation donne p =q, en remplaçant dans la première on obtient : 2 +7
= 11 ⇔ 2 +14
− 11 = 0 ⇔2+ 14 − 11
= 0 ⇔ 2 − 11 + 14 = 0 Les solutions de cette équation sont et 2 qui correspondent aux longueurs du rectangle.
Remarque : on peut aussi considérer que et p sont directement solutions de l’équation − + 7 = 0
En effet, l’énoncé se traduit par + p = et p = 7.
En utilisant les formules de somme et produit des racines d’un trinôme, l’équation vient naturellement.
