Ici la proposition P est de la forme A et B, donc sa négation est de la forme non(A) ou non(B)

L1 Sciences et Techniques Semestre 1 Mathématiques M11 Corrigé de l'examen du jeudi 10 janvier 2013

Exercice 1 (Logique (3 points)). On eectue une expérience chimique pour laquelle on peut seulement faire varier la température ou ajouter un catalyseur. On connait le principe suivant :

Si on augmente la température de 10degrés et si on n'ajoute pas de catalyseur alors la réaction va deux fois plus vite que normalement.

(1) Écrire la contraposée du principe ci-dessus, c'est-à-dire compléter la phrase Si la réaction ne va pas deux fois plus vite que normalement alors. . ..

(2) On observe que la température a augmenté de 10 degrés et que la réaction va 3 fois plus vite que normalement, que peut-on en déduire ? Justier en moins de 5 lignes

(3) On observe que la réaction va 2 fois plus vite que normalement, peut-on en déduire quelque chose sur la variation de température ? Justier en moins de 5 lignes

(1) La contraposée de si P alors Q (autrement dit P ⇒ Q) est si non(Q) alors non(P). Ici la proposition P est de la forme A et B, donc sa négation est de la forme non(A) ou non(B).

On obtient donc comme contraposée :

Si la réaction ne va pas deux fois plus vite que normalement alors on n'a pas augmenté la température de10 degrés ou on a ajouté du catalyseur.

Remarque : cette contraposée est logiquement équivalente au principe donné dans l'énoncé.

(2) La contraposée indique qu'on a ajouté du catalyseur : on est dans le cas où la réaction ne va pas deux fois plus vite (puisqu'elle va trois fois plus vite), donc on n'a pas augmenté la tempeérature de 10 degrés ou on a ajouté du catalyseur. Comme la température a augmenté de 10 degrés, cela signie qu'on a ajouté du catalyseur.

(3) On ne peut peut rien déduire sur la variation de température : le principe ne donne aucune indication dans ce sens.

Exercice 2 (Tracés de courbes (3 points)). On considère la fonction gaussienne

f:x7→f(x) =e^−x2.

Tracer à main levée, dans le repère ci-contre, les courbes représentatives des fonctions :

(1) x7→ −f(x), (2) x7→f(x) + 2, (3) x7→f(x+ 3), (4) x7→f(2x)−2.

f(x)

−f(x) f(x) + 2

f(x+ 3)

f(2x)−2

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3

−2

−1 1 2 3

0 x

y

Exercice 3 (Étude d'une fonction (8 points)). Soitf la fonction d'une variable réelle dénie par f(x) = e^x

1 +x

(1) Donner le domaine de dénition de la fonction f et calculer les limites en ses extrémités.

(2) Calculer la dérivée f⁰ de f. Vérier que la dérivée seconde estf⁰⁰(x) = e^x(1 +x²) (1 +x)³ .

(3) La fonctionf a-t-elle un point d'inexion sur son domaine de dénition ? Déterminer les inter- valles où f est convexe et ceux oùf est concave.

(4) Étudier le signe de la dérivée f⁰, et donner le tableau de variations def. Indiquer si f atteint un minimum ou un maximum local sur son domaine de dénition.

(5) La courbe représentative de f admet-elle une droite asymptote en −∞? Si oui, écrire son équation.

(6) La courbe représentative def admet-elle une droite asymptote en +∞? Justier la réponse.

(7) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe en x= 1. En déduire pour quelle valeur elle croise l'axe des abscisses. Même question avec la tangente en x= 2.

(8) Tracer la courbe représentative de f ainsi que ses tangentes enx= 1 etx= 2.

(1) Le domaine de dénition de f est R\ {−1} et on a

x→−∞lim e^x

1 +x = 0, lim

x<−1

x→−1

e^x

1 +x =−∞, lim

x>−1

x→−1

e^x

1 +x = +∞ et lim

x→+∞

e^x

1 +x = +∞

où la limite en +∞ est la seule forme indéterminée, et se déduit de la croissance comparée de e^x et de x en+∞.

(2) On trouvef⁰(x) = xe^x (1 +x)² et

f⁰⁰(x) = (e^x+xe^x)(1 +x)²−xe^x2(1 +x)

((1 +x)²)² = (e^x+xe^x)(1 +x)−2xe^x

(1 +x)³ = e^x(1 +x²) (1 +x)³ .

(3) Le numérateur de f⁰⁰ ne s'annule pas sur le domaine de dénition de f, donc f⁰⁰ ne s'annule pas et f n'a pas de point d'inexion. Commef⁰⁰(x)est du signe de (1 +x)³,f est concave sur ]− ∞,−1[ et convexe sur ]−1,+∞[.

(4) f⁰(x) est du signe dex, d'où le tableau de variations def :

−∞ −1 0 +∞

f⁰ − || − 0 +

0 || +∞ +∞

f & || & %

−∞ || 1

f atteint un minimum local enx= 0. (5) Comme lim

x→−∞f(x) = 0, la courbe représentative de f admet la droite y = 0 comme droite asymptote en −∞.

(6) Comme lim

x→−∞

f(x)

x = +∞(croissance comparée de e^x et dex² en+∞), la courbe représenta- tive de f n'admet pas de droite asymptote en +∞.

(7) L'équation de la tangente à la courbe en x = 1 est y = ^e₄x+₄^e. Cette droite croise l'axe des abscisses pour 0 = ^e₄x+^e₄ ce qui donnex=−1.

L'équation de la tangente à la courbe en x = 2 est y = ^2e₉²x− ^e₉². Cette droite croise l'axe des abscisses pour 0 = ^2e₉² −^e₉² et donc x= ¹₂.

(8) Tracé de la courbe représentative de f et de ses tangentes en x= 1 etx= 2:

x y

x=−1 y= 1

y= ^e₄(x+ 1) y= ^2e₉²(x− ¹₂)

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−2

−1 1 2 3

0

Exercice 4 (Équation diérentielle ordinaire (3 points)).

(1) Quelles sont les solutions surRde l'équation diérentielle y⁰(x) =−3y(x)? (2) Calculer une primitive de la fonction x7→xe^2x.

(3) Quelles sont les solutions de l'équation diérentielley⁰(x) =−3y(x) +xe^−x?

(1) Les solutions sur R de l'équation diérentielle y⁰(x) = −3y(x) sont les fonctions de la forme x7→C e^−3x où C est une constante réelle.

(2) Par intégration par parties, on a Z

xe^2xdx= Z

x 1

2e^2x 0

dx= x 2e^2x−

Z 1× 1

2e^2xdx= x

2e^2x−1 4e^2x=

x 2 −1

4

e^2x donc une primitive de la fonction x7→xe^2x estx7→ ^x₂ −¹₄

e^2x.

(3) On applique la méthode de la variation de la constante : on cherche une solution de l'équation diérentielle de la forme x 7→ C(x)e^−3x, et on obtient l'équation diérentielle C⁰(x)e^−3x = xe^−x c'est-à-direC⁰(x) =xe^2x. D'après la question précédente, C :x7→ ^x₂ −¹₄

e^2x convient, ce qui donne comme solution particulièrex7→ ^x₂ −¹₄

e^−x. Les solutions de l'équation diéren- tielle y⁰(x) =−3y(x) +xe^−x sont donc les fonctions de la forme x7→B e^−3x+ ^x₂ − ¹₄

e^−x où B est une constante réelle.

Exercice 5 (Au choix 1 : Nombres complexes (3 points)). Racines carrées et forme trigonométrique d'un nombre complexe :

(1) Résoudre dansCl'équation

z²=−2 + 2√ 3 i.

(2) Donner le module dez et l'argument principal dez.

(3) Écrire chacune de ces deux solutions sous forme trigonométrique.

(1) Siz=a+i b, alorsz²=−2 + 2√

3 i correspond au système a²−b² =−2

2ab= 2√ 3 En ajoutant l'égalité des modules|z²|=| −2 + 2√

3 i|on obtient le système







a²−b²=−2 2ab= 2√

3 a²+b²=√

4 + 12 = 4

⇔







a²−b² =−2 2a² = 4−2 = 2 ab >0

⇔







a² = 1

b² = 4−1 = 3 ab >0

⇔







a=±1 b=±√

3 ab >0 donc on trouve les deux solutionsz₁ = 1 +√

3 i etz₂ =−1−√ 3 i.

(2) z₁ etz₂ ont pour module2, l'argument principal dez₁ est ^π₃ et celui dez₂ est −^2π₃ . (3) On a donc z1= 2e^iπ3 = 2(cos(^π₃) + i sin(^π₃))etz2= 2e^−i2π3 = 2(cos(−^2π₃ ) + i sin(−^2π₃ )).

Exercice 6 (Au choix 2 : Étude de suite (3 points)). Soit aetb deux nombres réels, on considère la suite(u_n)n∈N dénie par

(u₀ =a,

un+1= 3un+b pour toutn≥0.

(1) Rappeler la dénition d'une suite géométrique.

(2) Pour tout n ≥ 0 on pose v_n = u_n+ ₂^b. Exprimer v_n+1 en fonction de v_n et en déduire que (vn)n∈Nest une suite géométrique de raison q, dont on précisera la valeur.

(3) En déduire l'expressionun= (a+ ^b₂)qⁿ−₂^b pour tout n.

(4) Quelles valeurs faut-il prendre pour aetban queu₁ = 0 etu₂ = 1?

(1) Une suite(w_n)n≥0est une suite géométrique s'il existe un nombre réelqtel que pour toutn≥0 on a w_n+1=qw_n.

(2) Pourn≥0on calcule quevn+1= 3vn, donc(vn)n∈Nest une suite géométrique de raisonq = 3.

(3) Puisque (vn)n∈N est une suite géométrique de raison q = 3, on a vn =v03ⁿ pour tout n≥0.

Comme v0 =a+₂^b, on obtient un= (a+₂^b)qⁿ−^b₂ pour tout n≥0. (4) Il s'agit de résoudre le système

(3(a+ ^b₂)−^b₂ = 0 9(a+ ^b₂)−^b₂ = 1 ⇔

(3a+b= 0 9a+ 4b= 1 ⇔

(3a+b= 0 b= 1 et on trouve a=−¹₃ etb= 1.