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Ici la proposition P est de la forme A et B, donc sa négation est de la forme non(A) ou non(B)

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Texte intégral

(1)

L1 Sciences et Techniques Semestre 1 Mathématiques M11 Corrigé de l'examen du jeudi 10 janvier 2013

Exercice 1 (Logique (3 points)). On eectue une expérience chimique pour laquelle on peut seulement faire varier la température ou ajouter un catalyseur. On connait le principe suivant :

Si on augmente la température de 10degrés et si on n'ajoute pas de catalyseur alors la réaction va deux fois plus vite que normalement.

(1) Écrire la contraposée du principe ci-dessus, c'est-à-dire compléter la phrase Si la réaction ne va pas deux fois plus vite que normalement alors. . ..

(2) On observe que la température a augmenté de 10 degrés et que la réaction va 3 fois plus vite que normalement, que peut-on en déduire ? Justier en moins de 5 lignes

(3) On observe que la réaction va 2 fois plus vite que normalement, peut-on en déduire quelque chose sur la variation de température ? Justier en moins de 5 lignes

(1) La contraposée de si P alors Q (autrement dit P ⇒ Q) est si non(Q) alors non(P). Ici la proposition P est de la forme A et B, donc sa négation est de la forme non(A) ou non(B).

On obtient donc comme contraposée :

Si la réaction ne va pas deux fois plus vite que normalement alors on n'a pas augmenté la température de10 degrés ou on a ajouté du catalyseur.

Remarque : cette contraposée est logiquement équivalente au principe donné dans l'énoncé.

(2) La contraposée indique qu'on a ajouté du catalyseur : on est dans le cas où la réaction ne va pas deux fois plus vite (puisqu'elle va trois fois plus vite), donc on n'a pas augmenté la tempeérature de 10 degrés ou on a ajouté du catalyseur. Comme la température a augmenté de 10 degrés, cela signie qu'on a ajouté du catalyseur.

(3) On ne peut peut rien déduire sur la variation de température : le principe ne donne aucune indication dans ce sens.

Exercice 2 (Tracés de courbes (3 points)). On considère la fonction gaussienne

f:x7→f(x) =e−x2.

Tracer à main levée, dans le repère ci-contre, les courbes représentatives des fonctions :

(1) x7→ −f(x), (2) x7→f(x) + 2, (3) x7→f(x+ 3), (4) x7→f(2x)−2.

f(x)

−f(x) f(x) + 2

f(x+ 3)

f(2x)−2

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3

−2

−1 1 2 3

0 x

y

(2)

Exercice 3 (Étude d'une fonction (8 points)). Soitf la fonction d'une variable réelle dénie par f(x) = ex

1 +x

(1) Donner le domaine de dénition de la fonction f et calculer les limites en ses extrémités.

(2) Calculer la dérivée f0 de f. Vérier que la dérivée seconde estf00(x) = ex(1 +x2) (1 +x)3 .

(3) La fonctionf a-t-elle un point d'inexion sur son domaine de dénition ? Déterminer les inter- valles où f est convexe et ceux oùf est concave.

(4) Étudier le signe de la dérivée f0, et donner le tableau de variations def. Indiquer si f atteint un minimum ou un maximum local sur son domaine de dénition.

(5) La courbe représentative de f admet-elle une droite asymptote en −∞? Si oui, écrire son équation.

(6) La courbe représentative def admet-elle une droite asymptote en +∞? Justier la réponse.

(7) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe en x= 1. En déduire pour quelle valeur elle croise l'axe des abscisses. Même question avec la tangente en x= 2.

(8) Tracer la courbe représentative de f ainsi que ses tangentes enx= 1 etx= 2.

(1) Le domaine de dénition de f est R\ {−1} et on a

x→−∞lim ex

1 +x = 0, lim

x<−1

x→−1

ex

1 +x =−∞, lim

x>−1

x→−1

ex

1 +x = +∞ et lim

x→+∞

ex

1 +x = +∞

où la limite en +∞ est la seule forme indéterminée, et se déduit de la croissance comparée de ex et de x en+∞.

(2) On trouvef0(x) = xex (1 +x)2 et

f00(x) = (ex+xex)(1 +x)2−xex2(1 +x)

((1 +x)2)2 = (ex+xex)(1 +x)−2xex

(1 +x)3 = ex(1 +x2) (1 +x)3 .

(3) Le numérateur de f00 ne s'annule pas sur le domaine de dénition de f, donc f00 ne s'annule pas et f n'a pas de point d'inexion. Commef00(x)est du signe de (1 +x)3,f est concave sur ]− ∞,−1[ et convexe sur ]−1,+∞[.

(4) f0(x) est du signe dex, d'où le tableau de variations def :

−∞ −1 0 +∞

f0 − || − 0 +

0 || +∞ +∞

f & || & %

−∞ || 1

f atteint un minimum local enx= 0. (5) Comme lim

x→−∞f(x) = 0, la courbe représentative de f admet la droite y = 0 comme droite asymptote en −∞.

(6) Comme lim

x→−∞

f(x)

x = +∞(croissance comparée de ex et dex2 en+∞), la courbe représenta- tive de f n'admet pas de droite asymptote en +∞.

(3)

(7) L'équation de la tangente à la courbe en x = 1 est y = e4x+4e. Cette droite croise l'axe des abscisses pour 0 = e4x+e4 ce qui donnex=−1.

L'équation de la tangente à la courbe en x = 2 est y = 2e92x− e92. Cette droite croise l'axe des abscisses pour 0 = 2e92e92 et donc x= 12.

(8) Tracé de la courbe représentative de f et de ses tangentes en x= 1 etx= 2:

x y

x=−1 y= 1

y= e4(x+ 1) y= 2e92(x− 12)

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−2

−1 1 2 3

0

Exercice 4 (Équation diérentielle ordinaire (3 points)).

(1) Quelles sont les solutions surRde l'équation diérentielle y0(x) =−3y(x)? (2) Calculer une primitive de la fonction x7→xe2x.

(3) Quelles sont les solutions de l'équation diérentielley0(x) =−3y(x) +xe−x?

(1) Les solutions sur R de l'équation diérentielle y0(x) = −3y(x) sont les fonctions de la forme x7→C e−3x où C est une constante réelle.

(2) Par intégration par parties, on a Z

xe2xdx= Z

x 1

2e2x 0

dx= x 2e2x

Z 1× 1

2e2xdx= x

2e2x−1 4e2x=

x 2 −1

4

e2x donc une primitive de la fonction x7→xe2x estx7→ x214

e2x.

(3) On applique la méthode de la variation de la constante : on cherche une solution de l'équation diérentielle de la forme x 7→ C(x)e−3x, et on obtient l'équation diérentielle C0(x)e−3x = xe−x c'est-à-direC0(x) =xe2x. D'après la question précédente, C :x7→ x214

e2x convient, ce qui donne comme solution particulièrex7→ x214

e−x. Les solutions de l'équation diéren- tielle y0(x) =−3y(x) +xe−x sont donc les fonctions de la forme x7→B e−3x+ x214

e−x où B est une constante réelle.

(4)

Exercice 5 (Au choix 1 : Nombres complexes (3 points)). Racines carrées et forme trigonométrique d'un nombre complexe :

(1) Résoudre dansCl'équation

z2=−2 + 2√ 3 i.

(2) Donner le module dez et l'argument principal dez.

(3) Écrire chacune de ces deux solutions sous forme trigonométrique.

(1) Siz=a+i b, alorsz2=−2 + 2√

3 i correspond au système a2−b2 =−2

2ab= 2√ 3 En ajoutant l'égalité des modules|z2|=| −2 + 2√

3 i|on obtient le système

a2−b2=−2 2ab= 2√

3 a2+b2=√

4 + 12 = 4

a2−b2 =−2 2a2 = 4−2 = 2 ab >0

a2 = 1

b2 = 4−1 = 3 ab >0

a=±1 b=±√

3 ab >0 donc on trouve les deux solutionsz1 = 1 +√

3 i etz2 =−1−√ 3 i.

(2) z1 etz2 ont pour module2, l'argument principal dez1 est π3 et celui dez2 est −3 . (3) On a donc z1= 2eiπ3 = 2(cos(π3) + i sin(π3))etz2= 2e−i3 = 2(cos(−3 ) + i sin(−3 )).

Exercice 6 (Au choix 2 : Étude de suite (3 points)). Soit aetb deux nombres réels, on considère la suite(un)n∈N dénie par

(u0 =a,

un+1= 3un+b pour toutn≥0.

(1) Rappeler la dénition d'une suite géométrique.

(2) Pour tout n ≥ 0 on pose vn = un+ 2b. Exprimer vn+1 en fonction de vn et en déduire que (vn)n∈Nest une suite géométrique de raison q, dont on précisera la valeur.

(3) En déduire l'expressionun= (a+ b2)qn2b pour tout n.

(4) Quelles valeurs faut-il prendre pour aetban queu1 = 0 etu2 = 1?

(1) Une suite(wn)n≥0est une suite géométrique s'il existe un nombre réelqtel que pour toutn≥0 on a wn+1=qwn.

(2) Pourn≥0on calcule quevn+1= 3vn, donc(vn)n∈Nest une suite géométrique de raisonq = 3.

(3) Puisque (vn)n∈N est une suite géométrique de raison q = 3, on a vn =v03n pour tout n≥0.

Comme v0 =a+2b, on obtient un= (a+2b)qnb2 pour tout n≥0. (4) Il s'agit de résoudre le système

(3(a+ b2)−b2 = 0 9(a+ b2)−b2 = 1 ⇔

(3a+b= 0 9a+ 4b= 1 ⇔

(3a+b= 0 b= 1 et on trouve a=−13 etb= 1.

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