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2011-2012

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

ISA BTP ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2011-2012

CONTR ˆOLE CONTINU

Syst`emes lin´eaires, 3◦ ann´ee.

Dur´ee : 1h30 Calculatrices autoris´ees.

Tous les exercices sont ind´ependants. Tous les r´esultats devront ˆetre justifi´es.

Exercice 1 Pour tout a ∈ R, on note

Ma =     1 1 −1 2 a 1 1 1 1 −1 3 −3 4 2 0 a     .

1. Calculer le d´eterminant det(Ma) en fonction de a.

2. En d´eduire les valeurs de a pour lesquelles Ma est inversible.

3. D´eterminer le rang de Ma en fonction de a.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? Exercice 2 Soit A =     1 −1 2 −1 2 −2 3 −3 1 1 1 0 1 −1 4 3     1. D´eterminer la d´ecomposition LU de A. 2. En d´eduire le d´eterminant de A.

3. R´esoudre le syst`eme lin´eaire AX =     4 7 −5 6     ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

Exercice 3 On suppose que la machine connaˆıt les deux algorithmes suivants : – L’algorithme vide colonne(M,j) place des 0 dans la colonne j de la matrice M .

(2)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

Exercice 4 On consid`ere deux variables al´eatoires x et y pour lesquelles on rel`eve les valeurs ci-dessous.

x 0 1 2 3 4 5

y 0.089 0.076 0.062 0.052 0.044 0.040

On cherche `a expliquer la variable y en fonction de la variable x.

1. Tracer dans un rep`ere le nuage de points (xi, yi) correspondant aux donn´ees ci-dessus dans le rep`ere 1

ci-joint.

2. Dans un premier temps une relation entre x et y de la forme

y = 1

ax + b (1)

(a) Montrer que si x et y v´erifient 1, alors x et y1 sont li´ees par une relation lin´eaire `a d´eterminer. (b) Montrer que les coefficients a et b cherch´es doivent ˆetre solution du syst`eme lin´eaire AX = B avec

A =         0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1         , X =  a b  , B =         11.23 13.17 16.0 19.0 22.50 25.0        

(c) R´esoudre le probl`eme par la m´ethode des moindres carr´es. 3. On cherche maintenant une relation de la forme

y = beax (2)

(a) Montrer que la relation 2 peut s’´ecrire sous la forme ln y = αx + β o`u α et β sont `a exprimer en fonction de a et b.

(b) D´eterminer le vecteur B2 tel que les coefficients α et β cherch´es soient donn´es par le syst`eme

A ×  α β  = B2

o`u A est la matrice donn´ees `a la question 2b. (c) R´esoudre ce syst`eme au sens des moindres carr´es.

4. Calculer l’erreur relative de chacune des approximations ci-dessus. 5. Commenter.

? ? ?

(3)

ISA BTP, 3◦ ann´ee Contrˆole continu, Syst`emes lin´eaires ’ Nom : ... Pr´enom : ...

1

2

3

4

5

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Rep`ere 1

(4)

CORRECTION

Exercice 1

1. Pour calculer le d´eterminant de Ma, on peut appliquer `a Ma les premi`eres op´erations du pivot de Gauss :

det(Ma) = 1 1 −1 2 a 1 1 1 1 −1 3 −3 4 2 0 a L2← L2− aL1 L3← L3− L1 L4← L4− 4L1 = 1 1 −1 2 0 1 − a 1 + a 1 − 2a 0 −2 4 −5 0 −2 4 a − 8 = 1 − a 1 + a 1 − 2a −2 4 −5 −2 4 a − 8 L3← L3− L2 = 1 − a 1 + a 1 − 2a −2 4 −5 0 0 a − 3 = (a − 3) 1 − a 1 + a −2 4 = −2(a − 3)2

2. D’apr`es le calcul pr´ec´edent, Ma est inversible pour tout a 6= 3.

3. – Si a 6= 3, Ma est inversible et donc de rang maximal. Alors Ma= 3.

– Pour calculer le rang de M3, on effectue le pivot de Gauss dans M3 :

    1 1 −1 2 3 1 1 1 1 −1 3 −3 4 2 0 3     −→ L2← L2− 3L1 L3← L3− L1 L4← L4− 4L1     1 1 −1 2 0 −2 4 −5 0 −2 4 −5 0 −2 4 −5     −→ L3← L3− L2 L4← L4− L2     1 1 −1 2 0 −2 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 0    

On constate alors que rg(M3) = 2.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

(5)

1. Op´erations A L P     1 −1 2 −1 2 −2 3 −3 1 1 1 0 1 −1 4 3         1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1         1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     L2← L2− 2L1 L3← L3− L1 L4← L4− L1     1 −1 2 −1 0 0 −1 −1 0 2 −1 1 0 0 2 4         1 0 0 0 2 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1         1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     L2↔ L3     1 −1 2 −1 0 2 −1 1 0 0 −1 −1 0 0 2 4         1 0 0 0 1 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1         1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1     L4← L4+ 2L3     1 −1 2 −1 0 2 −1 1 0 0 −1 −1 0 0 0 2         1 0 0 0 1 1 0 0 2 0 1 0 1 0 −2 1         1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1     U L P

2. Ayant effectu´e une permutation de lignes lors du pivot, on en d´eduit que det(A) = − det(U ). Donc det(A) = 4.

3. Pour r´esoudre le syst`eme AX = B propos´e, on le remplace par le double syst`eme triangulaire  LY = P B U X = Y . Ainsi : LY = P B ⇐⇒     1 0 0 0 1 1 0 0 2 0 1 0 1 0 −2 1         x y z t     =     4 −5 7 6     ⇐⇒        x = 4 x + y = −5 2x + z = 7 x − 2z + t = 6 ⇐⇒       x = 4 y = −5 − x = −9 z = 7 − 2x = −1

(6)

D’o`u Y0=     4 −9 −1 0     . Ainsi, U X = Y0⇐⇒     1 −1 2 −1 0 2 −1 1 0 0 −1 −1 0 0 0 2         x y z t     =     4 −9 −1 0     ⇐⇒        x − y + 2z − t = 4 2y − z + t = −9 −z − t = −1 2t = 0 ⇐⇒        x = 4 + y − 2z + t = −2 y = 12(−9 + z − t) = −4 z = 1 − t = 1 t = 0

L’unique solution du syst`eme propos´e est alors X0=

    −2 −4 1 0     . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

Exercice 3 Soit A = (aij) une matrice carr´ee de taille n

1. Pour j allant de 1 `a n − 1 : Si ajj = 0: A, i=choix pivot(A,j) A=vide colonne(A,j) 2. P ← In Pour j allant de 1 `a n − 1 : Si ajj = 0: A, i=choix pivot(A,j) Li↔ Lj dans P A=vide colonne(A,j)

3. Ces algorithmes ne marchent que pour les matrices inversibles, puisque l’on suppose qu’`a chaque appel de la fonction choix pivot, la machine parvient `a trouver un coefficient non nul `a mettre `a la place du pivot nul.

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