Examen d’analyse de Fourier, Mercredi 14 d´ecembre 2011
Exercice 1
On consid`ere la fonction
f(t) =
( sint, t ∈[0, π[
0, t∈]−π,0[
prolong´ee par p´eriodicit´e `a IR.
1) Montrer que la fonction est de classe C1 par morceaux.
2) Calculer ses coefficients de Fourier.
3) La s´erie de Fourier est elle normalement convergente?
4) Calculer Pp≥1 (4p21)−1, puisPp≥14p(−1)2−1p. Exercice 2 :
1) Montrer que la fonction x 7→ 1+x1 2 appartient `a L1(IR). On rappelle que sa transform´ee de Fourier est x7→πe−2π|x|.
2) En d´eduire pour a∈R, la transform´ee de Fourier dex7→ a2+x1 2, puis pour a6=±1 celle de (1+x2)(a1 2+x2).
3) On veut calculer la transform´ee de (1+x12)2.
4) Calculer dxd(1+x1 2). Calculer la tranform´ee de Fourier de (1+xx2)2. 5) En d´eduire la transform´ee de (1+xx22)2.
6) Calculer la tranform´ee de (1+x12)2. Exercice 3 :
On consid`ere la fonction
f(t) =
( sin3t
t , t >0 0, t≤0
1) Montrer quef est continue et causale. Montrer queI(f) =]0,∞[.
1
2) Soit pour x >0F(x) =R0∞f(t)e−txdt.
a) En utiisant un th´eor`eme du cours montrer queF est d´erivable pourx >0 et donner son expression sous forme d’une int´egrale.
b) Calculer cette int´egrale . On pourra utiliser la formule de trigonom´etrie sin3t= 3 sint−sin(3t)4 apr`es l’avoir d´emontr´e.
c) Donner l’expression deF(x), en int´egrant la fonction trouv´ee et en utilisant une propri´et´e de F au voisinage de l’infini.
d) Remarquer que la formule d´efinissant F se prolonge au point 0. (On utilisera la valeur admise de R0∞sinttdt = π2).
Exercice 4 :
R´esoudre l’´equation diff´erentielle
y00+ 2y0 +y =te−t
2
