Examen du 12 d´ ecembre 2008

Universit´e de Paris XI Math 111 - ´Equations diff´erentielles

Math´ematiques 1er semestre 2008-09

Examen du 12 d´ ecembre 2008

Documents et calculatrices interdits. Les quatre exercices sont ind´ependants, et peuvent ˆ

etre trait´es dans un ordre quelconque. Le barˆeme fourni est seulement indicatif.

Exercice E.1.— Champs de tangentes et trac´es de solutions (4,5 points) On consid`ere l’´equation diff´erentielle

y⁰ =yx−y³. (1)

1. D´eterminer et tracer :

– l’ensemble des points du plan o`u la pente du champ de tangentes est nulle, – l’ensemble des points du plan o`u la pente du champ de tangentes est positive, – l’ensemble des points du plan o`u la pente du champ de tangentes est n´egative.

2. Que peut-on dire de la solution qui v´erifie la condition initiale y(0) = 0 ?

3. Esquisser l’allure du graphe de la solution qui v´erifie la condition initiale y(0) = 3.

Exercice E.2.— ´Equations `a variables s´eparables (4,5 points) On consid`ere l’´equation diff´erentielle

y⁰ =y²sin(x). (2)

1. Une solution de cette ´equation diff´erentielle peut-elle s’annuler ?

2. D´eterminer la solution de cette ´equation qui v´erifie la condition initiale y(0) = 1 ? 3. Quel est l’intervalle de vie de cette solution ? Tracez son graphe.

Exercice E.3.— ´Equations lin´eaires du premier ordre (4 points) R´esoudre, sur l’intervalle ]0,+∞[, l’´equation diff´erentielle

xy⁰−y−x³ = 0. (3)

Tournez SVP

Exercice E.4.— ´Etude qualitative et utilisation de barri`eres (7 points) On consid`ere, sur l’intervalle ]0,+∞[, l’´equation diff´erentielle

y⁰ =−y³ 2 − e^y

x³. (4)

On note f la solution de cette ´equation diff´erentielle qui satisfait la condition initiale f(1) = 1 ; on note ]a, b[ l’intervalle de d´efinition de f.

1. Montrer quef est strictement positive. En d´eduire que f est strictement d´ecroissante.

2. Montrer queb= +∞.

3. Soit g la solution maximale de l’´equation diff´erentielle y⁰ =−y³

2 . (4bis)

qui v´erifie la condition initialeg(1) = 1. Calculerg.

4. Montrer queg est une sur-solution pour l’´equation diff´erentielle (4), et en d´eduire que

x→+∞lim f(x) = 0.