Math´ematiques 3 Examen CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020
Examen - 17 d´ ecembre 2020
Dur´ee : 3h. Tous documents interdits.
Le sujet comporte 5 exercices ind´ependants, `a l’exception de la derni`ere question de l’exercice 5 qui s’appuie sur la derni`ere question de l’exercice 4. N’h´esitez pas `a admettre les r´esultats de certaines questions pour avancer dans l’examen.
La clart´e et la pr´ecision de la r´edaction auront une part importante dans le barˆeme.
Exercice 1. Diagonalisation.
On consid`ere l’endomorphisme f de R3 d´efini par : pour tout x, y, z∈R, f(
x y z
) =
x+y+z x+y+z x+y+z
.
1. Donner la matrice Ade f dans la base canonique deR3, apr`es avoir rappel´e ce qu’est la base canonique deR3.
2. Calculer le polynˆome caract´eristique de f.
3. Donner une matriceP explicite telle queA=P BP−1, o`u B =
3 0 0 0 0 0 0 0 0
.
Exercice 2. Une s´erie enti`ere.
On consid`ere la suite (an)n∈N d´efinie par la relation de r´ecurrence suivante : a0 = 1, a1 = 3 et pour toutn∈N,an+2 = 3an+1−2an.
1. Montrer que pour tout n∈N,|an|64n.
2. En d´eduire que le rayon de convergenceR de la s´erie P
anzn satisfaitR> 14. 3. Pourx∈]−R, R[, on note f(x) =P+∞
n=0anxn. Montrer que pour toutx∈]−R, R[, on a (2x2−3x+ 1)f(x) = 1
4. Trouver α, β∈Rtels que 2x2−3x+11 = 1−xα +1−2xβ .
5. En d´eduire l’expression de an pour tout n ∈ N. On v´erifiera que le r´esultat obtenu satisfait bien la relation de r´ecurrence.
Exercice 3. Convergence de s´eries.
Etudier la convergence des s´´ eries num´eriques suivantes : 1. P
n>1(1−cos(n1)) ; 2. P
n>0 3 ln(n2+ 1)−2 ln(n3+ 1)
; 3. P
n>1
sin(e1/n−1) (ln(n+1))2 .
Exercice 4. Int´egrales de Wallis.
On consid`ere la suite (Wn)n∈N d´efinie par : pour tout n∈N, Wn=
Z π
2
0
sinn(t)dt.
1. Montrer que la suite (Wn)n∈N est d´ecroissante.
Universit´e de Paris 1 UFR de math´ematiques
Math´ematiques 3 Examen CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020 2. En utilisant une int´egration par parties, montrer qu’elle satisfait la relation de r´ecurrence
suivante : pour toutn∈N,
(n+ 2)Wn+2 = (n+ 1)Wn.
3. On pose un = (n+ 1)WnWn+1. Utiliser la question pr´ec´edent pour montrer que (un) est constante. Que vautu0?
4. Montrer que pour tout n∈N,Wn>0 puis que pour tout n∈N, on a n+ 1
n+ 2 6 Wn+1 Wn 61.
5. En d´eduire que Wn∼Wn+1[n→+∞].
6. En utilisant la question 3, conclure que Wn∼
r π
2n [n→+∞].
Exercice 5. Int´egrale gaussienne.
On consid`ere pour un entiern>1 la fonction fn:R+→Rd´efinie par : pour tout x>0, fn(x) =
(
1−xn2n
six6√ n
0 sinon.
1. Montrer que (fn)n>1 converge simplement vers la fonctionf :R+→Rdonn´ee par : pour tout x∈R+,f(x) =e−x2.
2. On va montrer qu’en fait la convergence est uniforme surR+. On d´efinit pour cela une fonction gn: [0,√
n]→Rpar : pour toutx∈[0,√
n], gn(x) =f(x)−fn(x).
(a) Montrer que pour tout n > 1 la fonction gn est `a valeurs positives. On pourra utiliser l’in´egalit´e suivante : pour toutx∈R,ex >1 +x.
(b) Montrer quegn est d´erivable, quegn(0) = 0, et que g0n(√
n)<0.
(c) En d´eduire que le maximum de gn est atteint en un ´el´ement de ]0,√
n[. On fixe un tel
´
el´ement xn.
(d) Montrer quegn0(xn) = 0. En utilisant l’expression de gn0, en d´eduire que gn(xn) = x2ne−x2n
n .
(e) Montrer que pour tout x ∈ R+, on a xe−x 6 1. On pourra utiliser encore l’in´egalit´e suivante : pour tout x∈R,ex>1 +x.
(f) Conclure que la suite (fn) converge uniform´ement vers f. 3. On note In=R
√n
0 fn(x)dx. Apr`es avoir montr´e que l’int´egraleR+∞
0 e−x2dxconverge, montrer que
n→+∞lim In= Z +∞
0
e−x2dx.
4. Montrer que In=√ n
Z π
2
0
sin2n+1(t)dt.
5. En utilisant la derni`ere question de l’exercice pr´ec´edent, montrer que Z +∞
0
e−x2dx=
√π 2 .
Universit´e de Paris 2 UFR de math´ematiques
