Universit´e Paris-Dauphine UE 15 Outils math´ematiques D´epartement LSO
DEGEAD 1`ere ann´ee
Examen du 16 octobre 2010
1heure 30
Les calculatrices, les t´el´ephones portables et tous les documents sont interdits.
Il sera tenu compte de la pr´esentation, de la lisibilit´e et de la r´edaction. Tous les calculs doivent figurer sur la copie : un r´esultat exact, mais non justifi´e sera consid´er´e comme nul.
Exercice 1 On consid`ere la fonction f d´efinie par : f(x) =x+ 2−2 ln(ex+ 1)
et on note (C) la courbe repr´esentative de f dans un rep`ere orthonorrnal.
1. Justifier quef est de classeC2 surIR.
2. Montrer que pour toutxr´eel, on a :
f(x) =−x+ 2−2ln(e−x+ 1) En d´eduire quef est paire surIR.
3. D´eterminer la limite de f quandxtend vers +∞.
4. D´emontrer que la droite D d’´equation : y =−x+ 2 est asymptote `a C en +∞. En d´eduire queCadmet une asymptote en−∞dont on donnera l’´equation.
5. Donner le tableau de variations def.
6. D´eterminer la solution, not´eeα, de l’´equationf(x) =x. 7. Montrer quef est concave surIR.
8. Tracer le graphe def avec ses asymptotes.
1
Exercice 2 On consid`ere la fonction f d´efinie par
f(x) =
1
2(1−x)2 six∈[0,12[
1
2x2 six∈[12,1[
0 six /∈[0,1[
1. La fonctionf est-elle continue surIR?
2. La fonctionf est-elle d´erivable enx= 12? 3. Tracer le graphe def.
4. Montrer que l’int´egraleR+∞
−∞ f(t)dtconverge et donner sa valeur.
5. Pour tout r´eelx, on poseF(x) =Rx
−∞f(t)dt. D´eterminerF(x).
Exercice 3 Soit pournentier In=
Z 1 0
xnln(1 +x)dx.
1. CalculerI0.
2. En utilisant une int´egration par parties montrer que
∀n∈IN, In = ln(2) n+ 1− 1
n+ 1 Z 1
0
xn+1 1 +xdx.
3. Montrer que
∀x∈[0,1], x2
x+ 1 =x−1 + 1 x+ 1. 4. En d´eduireI1.
5. Calculer en utilisant un changement de variable l’int´egrale J =
Z 1 0
x3ln(1 +x2)dx
2
