UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE. Ann´ee 2009-2010.
LM 371. 5 novembre 09. Dur´ee: 1h.15.
Les documents, livres, notes, cours polycopi´es, les calculatrices et les t´el´ephones portables sont interdits. Soyez concis !
Exercice 1.
1) D´ecomposez la permutation σ = (1,2,4,5)(3,5)(2,4,6)(5,3) de S6 en produit de cycles disjoints.
2) En d´eduire l’ordre de σ.
3) Donnez la d´ecomposition de l’inverse deσ en produit de cycles disjoints.
Exercice 2.
Soit Gun groupe de cardinal 77, agissant (op´erant) sur un ensemble E de cardinal 48.
1) Quels sont les cardinaux possibles pour les orbites de cette action ?
2) Montrez qu’il existe toujours un ´el´ement de E fixe (une orbite `a un ´el´ement).
Exercice 3.
Pour chacune des assertions suivantes, donnez une preuve ou un contre-exemple.
1) Soit f : G → G0 un homomorphisme de groupes. Pour tout ´el´ement d’ordre fini g ∈ G, l’ordre de f(g) divise l’ordre de g.
2) Si n divise le cardinal du groupe fini G, il existe un ´el´ement d’ordre n dans G.
3) Si tout sous-groupe strict (propre)H (G est commutatif, alors Gest commutatif.
4) Soient G etG0 deux groupes finis dont les ordres sont premiers entre eux. Si f :G→ G0 est un homomorphisme de groupes, on a f(G) ={eG0}.
5) Le centre Z(S5) du groupe sym´etrique S5 est r´eduit `a l’identit´e.
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