Contrˆole continu du 14 novembre 2013 1heure 30 Les calculatrices, les t´el´ephones portables et tous les documents sont interdits.

Universit´e Paris-Dauphine UE 15 Outils math´ematiques D´epartement LSO

DEGEAD 1`ere ann´ee

Contrˆ ole continu du 14 novembre 2013

1heure 30

Les calculatrices, les t´el´ephones portables et tous les documents sont interdits.

Il sera tenu compte de la pr´esentation, de la lisibilit´e et de la r´edaction. Tous les calculs doivent figurer sur la copie : un r´esultat exact, mais non justifi´e sera consid´er´e comme nul.

Exercice 1

On consid`ere la fonctionf d´efinie sur le domaineD par :

∀x∈D, f(x) =e^x−1−1.

1. (a) Quel est le domaine de d´efinitionD de la fonctionf. (b) Calculer la d´eriv´ee de f.

(c) ´Etablir le tableau de variations def.

(d) Sur quel intervalle la fonctionf est-elle convexe, concave ? On admet quef estC²surD.

(e) Ecrire l’´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative de f au pointx= 1.

(f) En d´eduire que

∀x∈IR, e^x−1≥x.

(g) Montrer que f est une bijection de D sur f(D). On d´eterminera f(D).

(h) D´eterminer f⁻¹.

(i) Tracer la courbe repr´esentative def.

2. On se propose d’´etudier les solutions de l’´equationf(x) =x. On pose

∀x∈IR, g(x) =f(x)−x.

(a) ´Etablir le tableau de variations deg.

(b) Montrer par lecture du tableau de variations que l’´equationg(x) = 0 admet deux solutions qu’on noteraaetb(a < b).

(c) Montrer que 1< b <2, on admet quee= 2,7.

(d) En d´eduire que l’´equationf(x) =xadmet comme seules solutionsa etb.

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Exercice 2On consid`ere la fonction d´efinie surIRpar g(x) =e^−|x|×x²

1. La fonctiongest-elle paire ou impaire ? 2. Etudier les limites deg en−∞et +∞.

3. Calculer la d´eriv´ee de g.

4. Etudier les variations de la fonctiong.

5. Etudier la convexit´e deg.

6. Tracer le graphe.

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