1) Décrivez les éléments d’ordre n de S5, pour n≤6

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UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE. Ann´ee 2009-2010.

LM 371. 5 janvier 2010. Dur´ee: 2h

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Il n’est pas nécessaire de répondre à toutes les questions pour obtenir la note maximale.

Exercice 1.

1) Décrivez les éléments d’ordre n de S₅, pour n≤6.

Tout élément est produit de cycles disjoints (uniquement à l’ordre près). Son ordre est le ppcm des ordres de ces cycles.

-e est l’unique ´el´ement d’ordre 1.

- les transpositions (2-cycles) et les produits de deux transpositions disjointes sont les ´el´ements d’ordre 2.

- Les k-cycles sont les ´el´ements d’ordrek pourk = 3,4,5.

- Les produits d’une transposition et d’un 3-cycles (disjoints) sont les ´el´ements d’ordre 6.

2) D´ecrivez les 5-sous-groupes de Sylow de S₅. Quel est le nombre de 5-sous-groupes de Sylow de S₅ ?

5¹ est la plus grande puissance de 5 divisant 120 = 5! le cardinal de S₅. Un sous-groupe de cardinal 5 est cyclique. Il contient 4 éléments d’ordre 5 (chacun d’eux est un générateur). Le nombre de 5-cycles est 24. Le nombre de 5-sous-groupes de Sylow est donc 6.

3) D´ecrivez les 3-sous-groupes de Sylow de S₅. Quel est le nombre de 3-sous-groupes de Sylow de S₅ ?

3¹ est la plus grande puissance de 3 divisant 120 = 5! le cardinal de S₅. Un sous-groupe de cardinal 3 est cyclique. Il contient 2 éléments d’ordre 3 (chacun est un générateur). Le nombre de 3-cycles est 20. Le nombre de 3-sous-groupes de Sylow est donc 10.

4) Donnez un 2-sous-groupe de Sylow deS₅.

Considérons le 4-cycle c= (1,2,3,4) et la transposition σ= (1,3). On aσcσ⁻¹ =c⁻¹. Il en résulte queH =< σ >< c >est un sous-groupe deS5. On a évidemmentH =< c >∪σ < c >.

Comme ces deux classes sont disjointes et comme < c > est de cardinal 4, on a montré que H a 8 éléments. On peut d’ailleurs les décrire.

H ={e, c, c², c³,(1,3) =σe,(1,2)(3,4) =σc,(2,4) = σc²,(1,4)(3,2) =σc³}.

On peut remarquer (si on en a envie, mais la question n’était pas posée) que le nombre de 4-cycles est 30. Parmi les éléments du groupe H décrit il y en a 2. On peut donc construire 15 sous-groupes de Sylow sur le modèle de H. Comme le nombre de 2-sous-groupes de Sylow divise 15, ils sont tous là!

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Exercice 2.

Pour tout groupe commutatifG, on note G₁₀ l’ensemble des ´el´ements de Gd’ordre divisant 10.

1) Montrez que l’ensemble G₁₀ est un sous-groupe deG.

f(g) = g¹⁰ est un endomorphisme de G (morphisme de G dans G) car G est commutatif (on a f(gg⁰) = f(g)f(g⁰) pour tous g, g⁰ ∈ G). On remarque que G₁₀ est le noyau de cet endomorphisme, c’est donc un sous-groupe. On peut aussi s’amuser `a d´emontrer que e∈G₁₀, queG₁₀ est stable (pour le produit) et queg¹⁰ =e implique (g⁻¹)10 =e, mais c’est plus long.

2) Décrivez tous les groupes commutatifs de cardinal 1000, à isomorphisme près.

Comme 1000 = 2³.5³, on peut consid´erer G(2), le 2-sous-groupe de Sylow de G et G(5) son 5-sous-groupe de Sylow et rappeler que G'G(2)×G(5).

Il existe (`a isomorphisme pr`es) 3 groupes commutatifs de cardinal 2³ : Z/2³Z (a), Z/2²Z×Z/2Z (b) et (Z/2Z)³ (c).

Il existe (`a isomorphisme pr`es) 3 groupes commutatifs de cardinal 5³ : Z/5³Z (α), Z/5²Z×Z/5Z (β) et (Z/5Z)³ (γ).

Ceci donne 9 décompositions possibles (à isomorphisme près) pour G, qu’on peut décrire (en appliquant par exemple le théorème chinois ...) ou ne pas écrire.

3) D´ecrivez, dans chaque cas, le sous-groupe G₁₀.

Rappelons que G ' G(2)×G(5). Si g = (h, k), avec h ∈ G(2) et k ∈G(5), il est clair que l’ordre o(g) est le ppcm des ordres o(h) et o(k). Mais o(h) est une puissance de 2 et o(k) une puissance de 5. Il reste que g¹⁰=e si et seulement sih² =e etk⁵ =e.

PosonsG(2)₂ ={h ∈G(2), tels que h² =e} etG(5)₅ ={k ∈ G(5), tels que k⁵ =e}. On a donc G₁₀'G(2)₂×G(5)₅.

On a

- (Z/2³Z)₂ '(Z/2Z), - (Z/2²Z×Z/2Z)₂ '(Z/2Z)² et - ((Z/2Z)³)₂ '(Z/2Z)³, et - (Z/5³Z)₅ '(Z/5Z), - (Z/5²Z×Z/5Z)₅ '(Z/5Z)² et - ((Z/5Z)³)₂ '(Z/5Z)³.

4) Si G et G⁰ sont deux groupes commutatifs de cardinal 1000, montrez que G ' G⁰ si et seulement si les groupesG10 etG⁰₁₀ ont le mˆeme cardinal.

Regroupons toutes nos informations.

(a),(α) : G'Z/2³.5³Zet G₁₀'Z/10Z est de cardinal 10.

(1),(β) : G'Z/2³.5²Z×Z/5Zet G10'Z/10Z×Z/5Z est de cardinal 50.

(1),(γ) : G'Z/2³.5Z×Z/5Z×Z/5Z etG₁₀'Z/10Z×Z/5Z×Z/5Z est de cardinal 250.

(2),(α) : G'Z/2².5³Z×Z/2Z etG₁₀ 'Z/10Z×Z/2Z est de cardinal 20.

(2),(β): G'Z/2².5²Z×Z/10Zet G10'Z/10Z×Z/10Z est de cardinal 100.

(2),(γ) : G ' Z/2².5Z×Z/10Z×Z/5Z et G₁₀ ' Z/10Z×Z/10Z×Z/5Z est de cardinal 500.

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(3),(α) : G'Z/2.5³Z×Z/2Z×Z/2Zet G₁₀'Z/10Z×Z/2Z×Z/2Zest de cardinal 40.

(3),(β) : G ' Z/2.5²Z×Z/2.5Z×Z/2Z et G₁₀ ' Z/10Z×Z/10Z×Z/2Z est de cardinal 200.

(3),(γ) : G'Z/2.5Z×Z/2.5Z×Z/2.5Z et G10 '(Z/10Z)³ est de cardinal 1000.

Elles montrent bien que Gest caractérisé (à isomorphisme près) par le cardinal de G₁₀.

Exercice 3.

SoitGun groupe de cardinal 90. On se propose de montrer queGn’est pas simple (autrement dit qu’il a un sous-groupe distingu´e diff´erent de {e} et de G).

On suppose que Gest simple et on cherche une contradiction.

1) En utilisant queGest simple, expliquez pourquoi le nombren_p dep-sous-groupes de Sylow deG (pour p= 2,3,5) n’est jamais 1. Calculezn₃ etn₅.

Sinp = 1, lep-sous-groupe de Sylow est distingué (théorème de Sylow). CommeGn’est pas unp-groupe il est différent deG. D’après le théorème de Sylow, Ga unp-sous-groupe de Sylow non trivial pour p = 2,3,5 car 90 = 2.3².5. Comme G est simple, on en déduit n_p 6= 1 pour p= 2,3,5.

-n₃ divise 10 et n₃ = 1 modulo 3, doncn₃ = 10.

-n₅ divise 18 et n₅ = 1 modulo 5, doncn₅ = 6.

3) SoientHetH⁰ deux 3-sous-groupes de Sylow distincts. On veut montrer queH∩H⁰ ={e}.

Supposons qu’il existeh∈H∩H⁰ tel que h6=e.

Consid´erons le sous-groupe C(h) ={g ∈G tels que ghg⁻¹ =h}.

- Montrez que H, H⁰ ⊂ C(h) (on admet qu’un groupe de cardinal 9 = 3² est commutatif).

En deduire que le cardinal de C(h) est 18,45 ou 90.

CommeH (respH⁰) est commutatif, il est clair queghg⁻¹ =h pourg ∈H, donc H ⊂C(h).

On a de mˆeme H⁰ ⊂C(h). Mais C(h) est un sous-groupe de G(c’est un stabilisateur pour une op´eration). Donc son cardinal divise 90. D’autre part C(h) a deux sous-groupes distincts de cardinal 9, donc son cardinal est un multiple strict de 9. Il reste trois cardinaux possibles : 18, 45 et 90.

- Montrez qu’un groupe de cardinal 18 ou 45 poss`ede un unique sous-groupe de cardinal 9.

D’après le théorème de Sylow, un groupe de cardinal 18 ou 45 n’a qu’un seul sous-groupe de cardinal 9. Ceci contreditH, H⁰ ⊂C(h), donc aussih ∈H∩H⁰ et h6=e, dans ce cas.

- Montrez que si C(h) =G, alors G n’est pas simple.

SiC(h) =G, alors h∈Z(G), donc Ga un centre non trivial, nécessairement différent de G (car G n’est pas commutatif). Le centre de G est un sous-groupe distingué (différent de G), donc Gn’est pas simple.

- En d´eduire que H∩H⁰ ={e}.

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On a montr´e que (dans tous les cas) l’existence de h ∈ H∩H⁰, avec h 6=e, contredisait la simplicit´e de G.

4) Quel est alors le nombre d’´el´ements g tels que g⁹ =e ?

On vient de montrer qu’un élément h 6= e dont l’ordre divise 9 est dans un unique 3-sous- groupe de Sylow. Comme n3 = 10, on en déduit qu’il existe 80 éléments h 6= e dans G dont l’ordre divise 9 (chaque 3-sous-groupe de Sylow a 8 éléments 6=e).

5) Calculez alors le nombre d’´el´ements de Gdont l’ordre est 5.

Un élément d’ordre 5 engendre le 5-sous-groupe de Sylow qui le contient, donc est dans un unique 5-sous-groupe de Sylow. Comme n₅ = 6, il y a 24 éléments d’ordre 5 dans G (chaque 5-sous-groupe de Sylow a 4 éléments 6=e).

6) En d´eduire qu’un groupe de cardinal 90 n’est pas simple.

On a distingué 80 + 24 = 104 éléments distincts dans G. Comme 104 > 90, il y a une contradiction et G n’est pas simple.