D´epartement de math´ematiques et de statistique

D´epartement de math´ematiques et de statistique MAT 2100

Universit´e de Montr´eal Analyse 3

Quiz # 2

jeudi 16 mars 2017 de 15h30 `a 17h00 local Z-300, pavillon Claire-McNicoll Directives p´edagogiques:

•Les livres, notes de cours, calculatrices, ordinateurs, t´el´ephones portables et appareils ´electroniques de tous genres ne seront pas permis.

•Les solutions bas´ees sur des dessins ne seront pas accept´ees

•R´epondre au maximum de questions : note maximale 85 sur 100.

Question 1. SoitRmuni de la m´etriqued(x, y) =|x−y|.

(i) (5 points) Soient deux fonctions f, g:R→Rlipschitz continues sur R.

Est-ce que leur produit (f g)(x) =f(x)g(x) est lipschitz continue surR? Justifier.

(ii) (10 points) Soient deux fonctions f, g : R → R convexes sur R. Est-ce que la composition (f ◦g)(x) =f(g(x)) est convexe surR? Justifier.

D´emonstration. (i) En g´en´eral non. Il suffit de prendref(x) =g(x) =x.

(ii) En g´en´eral non. Il suffit de prendre les fonctions convexesf(x) =−xet g(x) =x². Cela donnef(g(x)) =−x² qui n’est pas convexe.

Question 2. (5 points) SoitA∈ L(X, Y) pour deux espaces vectoriels norm´es X et Y. Montrer queAest injective si et seulement si

Ax= 0 ⇒ x= 0.

(1)

D´emonstration. (i) Si (1) est v´erif´ee, alors pourx1, x2tel queAx1=Ax2, on a 0 =Ax2−Ax1=A(x2−x1) ⇒ x2−x1= 0

etAest injective.

(ii) R´eciproquement, siAest injective alors Ax=A0 ⇒x= 0.

CommeA est lin´eaire,A0 = 0 etAx= 0 entraˆınex= 0, c’est-`a-dire, (1).

Question 3. SoitEun sous-ensemble born´e deR^kmuni de la norme euclidienne etf :E→Rune fonction uniform´ement continue sur E.

(i) (10 points) Montrer quef est born´ee surE.

(ii) (5 points) Montrer que, en g´en´eral, la conclusion est fausse si on ne suppose pasE born´e.

1

D´emonstration. (i) CommeE est born´e dansR^k son adh´erenceEest compacte dansR^k. La fonctionf uniform´ement continue surE poss`ede un prolongement uniform´ement continu unique ¯f : E → R. L’image ¯f(E) du compact E par ¯f est donc compacte. Elle est donc born´ee. Finalement,f(E) = ¯f(E)⊂f¯(E) est born´e.

(ii) En effet, il suffit de prendref(x) =xet E=R.

Question 4. (10 points) Soit f : [0,1]→[0,1] une fonction continue. Montrer qu’il existe au moins unx∈[0,1] tel quef(x) =x.

D´emonstration. On consid`ere la fonctiong(x) =f(x)−xpour laquelleg(0) = f(0)−0≥0 etg(1) =f(1)−1≤0. Comme la nouvelle fonctiongest continue et queg(1)≤0 ≤g(0), on a l’existence d’un x∈[0,1] tel queg(x) = 0 par le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. De l`a 0 =g(x) =f(x)−xetf(x) =x.

Question 5. (15 points) Soit (X, d) un espace m´etrique. On sait que pour tout M >0

d^M(x, y)^d´= min{d(x, y), M^ef } (2)

est une m´etrique ´equivalente sur X. Montrer que si (X, d) est complet, alors (X, d^M) est complet.

D´emonstration. Soit une suite{xⁿ} d^M-Cauchy : pour tout ε >0, il existe N tel que

∀m, n > N, d^M(xⁿ, x^m)< ε.

En particulier, pour tout 0< ε < M, il existeN− tel que

∀m, n > N−, d^M(xⁿ, x^m)< ε < M ⇒ ∀m, n > N−, d(xⁿ, x^m)< ε.

Siε≥M, on choisit leN+ tel que

∀m, n > N+, d^M(xⁿ, x^m)< M ⇒ d(xⁿ, x^m) =d^M(xⁿ, x^m)< M ≤ε.

La suite{xⁿ}est doncd-Cauchy. Comme (X, d) est complet, il existex∈X tel quexn→xet

d^M(xⁿ, x)≤d(xⁿ, x)→0.

(X, d^M) est complet.

Question 6. (20 points) Soient une fonctionf :E→Ret Eun sous-ensemble compact d’un espace m´etrique (X, d). Montrer que f est continue sur E si et seulement si le graphe

G(f, E)^d´=^ef{(x, f(x)) :x∈E}

(3)

est compact.

2

D´emonstration. L’applicationx7→g(x) = (x, f(x)) :E →E×R est continue et doncg(E) est compact. Donc

G(f, E) ={(x, f(x)) :x∈E}=g(E) est compact.

On d´emontre la r´eciproque par l’absurde. Supposons quef ne soit pas conti- nue enx∈E. Alors, il existe une suite {xⁿ}, xⁿ →x, telle quef(xⁿ)6→f(x).

Il existe doncε >0 tel que

∀N ≥1,∃n > N tel que|f(xⁿ)−f(x)| ≥ε.

On peut donc construire une sous-suite de {xⁿk} comme suit : on prend le premiern tel que n1 ≥1 et |f(xⁿ₁−f(x)| ≥ε. On prend ensuite le premier n2> n1 tel que|f(xⁿ₂−f(x)| ≥ε et ainsi de suite. On obtient une sous-suite de{xⁿ}tel que xⁿk →x. On consid`ere maintenant cette suite

(xⁿk, f(xⁿk))⊂G(f, E).

Par compacit´e s´equentielle, il existex∈E et une sous-suite de{(xⁿk, f(xⁿk))}, encore not´ee{(xⁿk, f(xⁿk))}, tel que (xⁿk, f(xⁿk))→(x, f(x)). On obtient donc la contradictionf(xⁿk)→f(x) pour cette sous-suite de{xⁿ}.

Question 7. Une fonctionf :R^k→Rtend vers z´ero `a l’infini si

∀ε >0,∃K^εcompact tel que∀x∈R^k\K^ε, |f(x)| ≤ε.

(4)

SoitC0⁰(R^k;R) l’espace vectoriel de toutes les fonctions continuesf sur R^k qui tendent vers z´ero `a l’infini.

(i) (5 points) Montrer que toute fonction continuef :R^k→Rqui tend vers z´ero `a l’infini est born´ee surR^k.

(ii) (Bonus 15 points) Montrer que le sous-espace vectoriel C0⁰(R^k;R) de B⁰(R^k;R) est complet pour la norme

kfkBR^k;R) d´ef

= sup

x∈R^k

|f(x)|.

(5)

Rappel.Utiliser le fait queB⁰(R^k;R) est l’espace de Banach des fonctions conti- nues et born´ees deR^k dansRmuni de la norme (5).

D´emonstration. (i) Soitf ∈C₀⁰(R^k;R). Pourε= 1,

∃K1 compact tel que∀x∈R^k\K1, |f(x)| ≤1.

Commef est continue sur le compactK1, son imagef(K1) est compact et par cons´equent born´ee :

∃M >0 tel que∀x∈K1, |f(x)| ≤M ⇒ ∀x∈R^k, |f(x)| ≤max{M,1}

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etf est une fonction continue et born´ee surR^k, c’est-`a-dire,f ∈ B⁰(R^k;R).

(ii) De la partie (i),C₀⁰(R^k;R)⊂ B⁰(R^k;R). Muni de la norme (5), c’est un espace vectoriel norm´e. Soit{fⁿ}une suite de Cauchy dansC₀⁰(R^k;R) pour cette norme. Comme{fⁿ} est aussi une suite de Cauchy dans le BanachB⁰(R^k;R), il existe f ∈ B⁰(R^k;R) tel quefⁿ → f (uniform´ement sur R^k). La fonction f est donc continue et born´ee sur R^k. Il reste `a montrer qu’elle tend vers z´ero `a l’infini.

Comme{fⁿ}est Cauchy pour la norme (5),

∀ε > o,∃N tel que ∀n > N, kfn−fkB(R^k;R)< ε/2.

(6)

PourfN+1, il existe un compactKN+1 tel que

∀x∈R^k\K^N+1, |f(x)| ≤ε/2.

De l`a

|f(x)| ≤ |f(x)−f^N+1(x)|+|f^N+1(x)|

≤ kf−f^N+1kB(R^k;R)+|f^N+1(x)|< ε/2 +|f^N+1(x)|

⇒ ∀x∈R^k\K^N+1, |f(x)|< ε/2 +|f^N+1(x)| ≤ε/2 +ε/2 =ε.

La fonctionf appartient donc `a C₀⁰(R^k;R) qui est bien complet.

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